Όμοιες παραβολές ΣΛ

parmenides51 · #1

Όλες οι παραβολές είναι όμοιες μεταξύ τους.

Σωστό ή Λάθος;

Γιώργος Απόκης · #2

Σωστό. Θα κάνω την απόδειξη για τις παραβολές C_1:y^2=2ax,~C_2:y^2=2bx

με

καθώς οι παραβολές της μορφής x^2=2py

προκύπτουν με στροφή μιας από τις C_1,C_2

κατά $90^{o}$ ή $-90^{o}$ . (Aν ab<0

τότε στρέφουμε μία από τις C_1,C_2

κατά $180^{o}$ ).

Έστω A(x_1,y_1)

σημείο της C_1

και

το σημείο τομής της

με την

. Tότε η

έχει εξίσωση $\displaystyle{y=\frac{y_1}{x_1}x}$ και για το

λύνουμε το σύστημα των OA,C_2

. Έχουμε : $\displaystyle{\left(\frac{y_1}{x_1}x_2\right)^2=2bx_2\overset{x_2\ne 0}\Leftrightarrow x_2=\frac{2bx_1^2}{y_1^2}=\frac{2bx_1^2}{2ax_1}=\frac{b}{a}x_1}$ και $\displaystyle{y_2=\frac{y_1}{x_1}x_2=\frac{y_1}{x_1}\frac{b}{a}x_1=\frac{b}{a}y_1}$ .

Επομένως, έχουμε $\displaystyle{\overrightarrow{OA}=(x_1,y_1)}$ και $\displaystyle{\overrightarrow{OB}=\left(\frac{b}{a}x_1,\frac{b}{a}y_1\right)=\frac{b}{a}\overrightarrow{OA}}$ άρα οι παραβολές είναι όμοιες με λόγο $\displaystyle{\frac{b}{a}}$ .

parmenides51 · #3

Αφου ευχαριστήσω τον Γιώργο για την απόδειξη του,
έχω να προσθέσω πως το πέτυχα στο ίντερνετ και εντυπωσιάστηκα γιατί μόνο προφανές δεν φαίνεται να είναι.

Συνάντησα και μια online δυναμική απόδειξη εδώ.

parmenides51 · #4

άλλες αποδείξεις από το ιντερνετ εδώ κι εδώ

και άλλη μια φρέσκια στο

προταθείσα από τον Γεωμέτρη Θανάση εδώ (άσκηση 78 της συλλογής)

Όμοιες παραβολές ΣΛ

Όμοιες παραβολές ΣΛ

Re: Όμοιες παραβολές ΣΛ

Re: Όμοιες παραβολές ΣΛ

Re: Όμοιες παραβολές ΣΛ

Μέλη σε σύνδεση