Ένα διαγώνισμα στον κύκλο

#1

Την περασμένη εβδομάδα οι μαθητές μου έγραψαν ένα διαγώνισμα στον κύκλο. Κατά την πάγια τακτική μου οι πρώτες ερωτήσεις και των δύο ζητημάτων προέρχονται από το σχολικό βιβλίο:
Θέμα 1
Δίνεται o κύκλος
$\displaystyle{x^{2}+y^{2}-2\alpha x-2\beta y+a^{2}-3\beta ^{2}=0\,\,\,\,(\mathcal{C})}$ με $\beta \neq 0$ .
1) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης του $\mathcal{C}$ στο σημείο του $A\left( \alpha ,-\beta \right)$ .
2) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο του κέντρου τού $\mathcal{C}$ αν είναι γνωστό ότι διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
Θέμα 2
Δίνονται οι οι αριθμοί $\alpha$ $\beta$ με $\alpha \beta \neq 0$ και ευθείες
$x\sigma \upsilon \nu \theta +y\eta \mu \theta =\alpha \,\,\,(1)$
$x\eta \mu \theta -y\sigma \upsilon \nu \theta =\beta \,\,\,(2)$
1) Να αποδείξετε ότι το κοινό σημείο

των ευθειών (1), (2) ανήκει στον κύκλο
$x^{2}+y^{2}=\alpha ^{2}+\beta ^{2} \,\,\,(3)$
για όλες τις τιμές του $\theta \in \left[ 0,2\pi \right)$
2) α) Να δείξετε ότι κάθε μία από τις ευθείες (1) και (2) έχει άλλο ένα κοινό σημείο με τον κύκλο (3) διάφορο του

. Όνομάζουμε αυτά τα σημεία

και

αντιστοίχως.
β) Να δείξετε ότι
i) Το τμήμα

είναι διάμετρος του κύκλου (3).
ii) To τρίγωνο MNP

έχει σταθερό εμβαδόν.

Μαυρογιάννης

STOPJOHN · #2

Καλημέρα ένα καλό και ΠΡΟΣΓΕΙΩΜΈΝΟ διαγώνισμα ......
Φιλικά
Γ.Σ

STOPJOHN · #3

κ.Μαυρογιάννη ,το σημείο

που βρίσκεται ; Μήπως εννοείται

αντί του

;
Ένα θέμα που αντιμετώπισα σε αυτή την άσκηση είναι ότι οι μαθητές για την καθετότητα των ευθειών δεν χρησιμοποιούν διανύσματα αλλά συντελεστές διεύθυνσης ευθειών και δεν κάνουνε πλήρη διερεύνηση. Ακόμη η λύση του συστήματος με ορίζουσες (δεν τις προλάβαμε πέρυσι) είναι εύκολη ,αν όμως δεν τις έχουνε διδαχθεί πάλι χάνονται στην διερεύνηση με τις γωνίες .
Γ.Σ

#4

STOPJOHN έγραψε:κ.Μαυρογιάννη ,το σημείο που βρίσκεται ; Μήπως εννοείται αντί του ;

Αυτό είναι ένα πρόβλημα που εμφανίζεται συχνά στο φόρουμ. Αν γράψουμε

Κώδικας: Επιλογή όλων

όπου ο Ν είναι ελληνικός αντί αγγλικός χαρακτήρας, θα βγει

αντί του σωστού

. Το ίδιο πρόβλημα συμβαίνει και με τους άλλου ελληνικούς χαρακτήρες. Π.χ.

αντί

,

αντί

κ.τ.λ. Οπότε σε αυτήν την άσκηση το

είναι

.

#5

STOPJOHN έγραψε:κ.Μαυρογιάννη ,το σημείο που βρίσκεται ; Μήπως εννοείται αντί του ;
Ένα θέμα που αντιμετώπισα σε αυτή την άσκηση είναι ότι οι μαθητές για την καθετότητα των ευθειών δεν χρησιμοποιούν διανύσματα αλλά συντελεστές διεύθυνσης ευθειών και δεν κάνουνε πλήρη διερεύνηση. Ακόμη η λύση του συστήματος με ορίζουσες (δεν τις προλάβαμε πέρυσι) είναι εύκολη ,αν όμως δεν τις έχουνε διδαχθεί πάλι χάνονται στην διερεύνηση με τις γωνίες .
Γ.Σ

'Εχετε δίκιο. Ευχαριστώ για την επισήμανση. Το διόρθωσα. Ισχύει αυτό που λέει ο Δημήτρης.
Πράγματι οι υπολογιστικές δυσκολίες που αναφέρετε είναι υπαρκτές.

Ένα διαγώνισμα στον κύκλο

Ένα διαγώνισμα στον κύκλο

Re: Ένα διαγώνισμα στον κύκλο

Re: Ένα διαγώνισμα στον κύκλο

Re: Ένα διαγώνισμα στον κύκλο

Re: Ένα διαγώνισμα στον κύκλο

Μέλη σε σύνδεση