1Β-ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

Α.Κυριακόπουλος · #1

Από ένα σημείο Μ του κύκλου ${C_1}:{x^2} + {y^2} = {\alpha ^2}$ φέρνουμε τις εφαπτόμενες στον κύκλο ${C_2}:{x^2} + {y^2} = {\beta ^2}$ (α>β>0) και ονομάζουμε Α και Β τα σημεία επαφής. Η ευθεία ΑΒ εφάπτεται στον κύκλο ${C_3}:{x^2} + {y^2} = {\gamma ^2}$ ( γ>0). Να αποδείξετε ότι: ${\beta ^2} = \alpha \gamma$ .

(Aπό το βιβλίο των Κώστα και Αντώνη Κυριακόπουλου:
«ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ» θετικής κατεύθυνσης,
τόμος 2: ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ, σελίδα 51, άσκηση 28 ).

ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ · #2

Καλησπέρα .
Έστω Κ( x0 , y0 ) το σημείο του C1 από το οποίο φέρνουμε τις εφαπτόμενες .
Το σημείο Κ θα επαληθεύει την εξίσωση του C1 άρα ισχύει $\displaystyle{ x_0 ^2 + y_0 ^2 = a^2 }$
Η εξίσωση της ΑΒ είναι η εξίσωση της πολικής ευθείας του Κ ως προς τον κύκλο C2 οπότε
$\displaystyle{ AB:x_0 \cdot x + y_0 \cdot y = \beta ^2 }$
( η απόδειξή της είναι η άσκηση 3Β ομάδα σελ 88 Β κατεύθυνση )
Όμως η AB εφάπτεται στον C3 άρα $\displaystyle{ d\left( {O,AB} \right) = \gamma \Rightarrow \frac{{\left| { - \beta ^2 } \right|}}{{\sqrt {x_0 ^2 + y_0 ^2 } }} = \gamma \Rightarrow \beta ^2 = \alpha \cdot \gamma }$

1Β-ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

1Β-ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

Re: 1Β-ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ

Μέλη σε σύνδεση