Υπερβολή 2

Γιώργος Κ77 · #1

Έστω η υπερβολή $C:\frac{x^{2}}{\alpha ^{2}}-\frac{y^{2}}{\beta ^{2}}=1$ . Αν οι εφαπτομένες της

, οι οποίες διέρχονται από σημείο

,

σχηματίζουν με τον άξονα x'x

γωνίες $\theta _{1},\theta _{2}$ με $\epsilon \phi \theta _{1}\epsilon \phi \theta _{2}=\kappa ^{2}$ ( $\kappa \neq 0$ σταθερά),

να αποδείξετε ότι το σημείο

ανήκει στην υπερβολή $C':\kappa ^{2}x^{2}-y^{2}=\beta ^{2}+\kappa ^{2}\alpha ^{2}$ .

Γιώργος Κ77 · #2

Επαναφορά.

#3

Γιώργος Κ77 έγραψε:Έστω η υπερβολή $C:\frac{x^{2}}{\alpha ^{2}}-\frac{y^{2}}{\beta ^{2}}=1$ . Αν οι εφαπτομένες της , οι οποίες διέρχονται από σημείο ,

σχηματίζουν με τον άξονα γωνίες $\theta _{1},\theta _{2}$ με $\epsilon \phi \theta _{1}\epsilon \phi \theta _{2}=\kappa ^{2}$ ( $\kappa \neq 0$ σταθερά),

να αποδείξετε ότι το σημείο ανήκει στην υπερβολή $C':\kappa ^{2}x^{2}-y^{2}=\beta ^{2}+\kappa ^{2}\alpha ^{2}$ .

Γιώργο καλησπέρα
Δεν ξέρω πως έμεινε αυτό το όμορφο θέμα αναπάντητο τόσες μέρες από τους αναλυτικογεωμέτρες. Ας κάνω μια προσπάθεια...

$\displaystyle{ \bullet }$ Έστω $\displaystyle{ M\left( {x_0 ,y_0 } \right) }$ . Θα θεωρήσουμε τις ευθείες που διέρχονται από το $\displaystyle{ M }$ να εφάπτονται στην υπερβολή και να έχουν συντελεστές διεύθυνσης

(άρα όχι παράλληλες προς $\displaystyle{ y'y }$ (δηλαδή $\displaystyle{ x_0 \ne \pm \alpha }$ ) και μάλιστα διαφορετικούς του μηδενός αφού $\displaystyle{ k \ne 0 }$ και διαφορετικούς των συντελεστών διεύθυνσης

των ασυμπτώτων $\displaystyle{ \lambda \ne \pm \frac{\beta } {\alpha } }$ (αφού είναι «γνωστό» ότι ευθεία παράλληλη προς τις ασύμπτωτες της υπερβολής τέμνει την υπερβολή σε ένα σημείο

$\displaystyle{ \bullet }$ Οι εξισώσεις αυτών των ευθειών είναι της μορφής $\displaystyle{ \left( \varepsilon \right):y - y_0 = \lambda \left( {x - x_0 } \right),\lambda \ne 0,\lambda \ne \pm \frac{\beta } {\alpha } }$ .

Για να εφάπτεται της υπερβολής θα πρέπει το σύστημα των εξισώσεων $\displaystyle{ \left( \varepsilon \right),\left( C \right) }$ να έχει διπλή ρίζα.

Έχουμε: $\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} x^2 \beta ^2 - \alpha ^2 y^2 = \alpha ^2 \beta ^2 \\ y - y_0 = \lambda \left( {x - x_0 } \right) \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x^2 \beta ^2 - \alpha ^2 y^2 = \alpha ^2 \beta ^2 \\ y = \lambda x + \left( {y_0 - \lambda x_0 } \right) \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x^2 \beta ^2 - \alpha ^2 \left[ {\lambda x + \left( {y_0 - \lambda x_0 } \right)} \right]^2 = \alpha ^2 \beta ^2 \\ y = \lambda x + \left( {y_0 - \lambda x_0 } \right) \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} x^2 \beta ^2 - \alpha ^2 \left[ {\lambda ^2 x^2 + 2\lambda \left( {y_0 - \lambda x_0 } \right)x + \left( {y_0 - \lambda x_0 } \right)^2 } \right] = \alpha ^2 \beta ^2 \\ y = \lambda x + \left( {y_0 - \lambda x_0 } \right) \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} x^2 \beta ^2 - \alpha ^2 \lambda ^2 x^2 - 2\lambda \alpha ^2 \left( {y_0 - \lambda x_0 } \right)x - \alpha ^2 \left( {y_0 - \lambda x_0 } \right)^2 = \alpha ^2 \beta ^2 \\ y = \lambda x + \left( {y_0 - \lambda x_0 } \right) \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} \boxed{\left( {\beta ^2 - \alpha ^2 \lambda ^2 } \right)x^2 - 2\lambda \alpha ^2 \left( {y_0 - \lambda x_0 } \right)x - \alpha ^2 \left[ {\left( {y_0 - \lambda x_0 } \right)^2 + \beta ^2 } \right] = 0}:\left( 2 \right) \\ y = \lambda x + \left( {y_0 - \lambda x_0 } \right) \\ \end{gathered} \right. }$

$\displaystyle{ \bullet }$ Για να υπάρχει "επαφή" θα πρέπει η εξίσωση $\displaystyle{ \left( 2 \right) }$ να έχει (ως προς $\displaystyle{ x }$ ) διπλή ρίζα δηλαδή $\displaystyle{ \Delta = 0 \Leftrightarrow \left[ { - 2\lambda \alpha ^2 \left( {y_0 - \lambda x_0 } \right)} \right]^2 + 4\alpha ^2 \left( {\beta ^2 - \alpha ^2 \lambda ^2 } \right)\left[ {\left( {y_0 - \lambda x_0 } \right)^2 + \beta ^2 } \right] = 0 \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{ 4\alpha ^4 \lambda ^2 \left( {y_0 - \lambda x_0 } \right)^2 + 4\alpha ^2 \beta ^2 \left( {y_0 - \lambda x_0 } \right)^2 - 4\alpha ^4 \lambda ^2 \left( {y_0 - \lambda x_0 } \right)^2 + 4\alpha ^2 \beta ^2 \left( {\beta ^2 - \alpha ^2 \lambda ^2 } \right) = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{ 4\alpha ^2 \beta ^2 \left( {y_0 - \lambda x_0 } \right)^2 + 4\alpha ^2 \beta ^2 \left( {\beta ^2 - \alpha ^2 \lambda ^2 } \right) = 0 \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{ 4\alpha ^2 \beta ^2 \left[ {\left( {y_0 - \lambda x_0 } \right)^2 + \beta ^2 - \alpha ^2 \lambda ^2 } \right] = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{4\alpha ^2 \beta ^2 \ne 0} }$

$\displaystyle{ \left( {y_0 - \lambda x_0 } \right)^2 + \beta ^2 - \alpha ^2 \lambda ^2 = 0 \Leftrightarrow y_0^2 - 2x_0 y_0 \lambda + \lambda ^2 x_0^2 + \beta ^2 - \alpha ^2 \lambda ^2 = 0 \Leftrightarrow \boxed{\left( {x_0^2 - \alpha ^2 } \right)\lambda ^2 - 2x_0 y_0 \lambda + \left( {y_0^2 + \beta ^2 } \right) = 0}:\left( 3 \right) }$

$\displaystyle{ \bullet }$ Οι λύσεις (ως προς $\displaystyle{ \lambda }$ ) της πιο πάνω δευτεροβάθμιας $\displaystyle{ \left( {x_0 \ne \pm \alpha \Rightarrow x_0^2 - \alpha ^2 \ne 0} \right) }$ θα δίνουν τους συντελεστές διεύθυνσης δηλαδή αν είναι $\displaystyle{ \lambda _1 ,\lambda _2 }$

οι ρίζες της θα είναι $\displaystyle{ \lambda _1 = \varepsilon \phi \theta _1 ,\lambda _2 = \varepsilon \phi \theta _2 }$ και από τους τύπους του Vieta είναι:

$\displaystyle{ \lambda _1 \lambda _2 = \frac{{y_0^2 + \beta ^2 }} {{x_0^2 - \alpha ^2 }}\mathop \Rightarrow \limits^{\lambda _1 \lambda _2 = \varepsilon \phi \theta _1 \cdot \varepsilon \phi \theta _2 = k^2 } k^2 = \frac{{y_0^2 + \beta ^2 }} {{x_0^2 - \alpha ^2 }} \Leftrightarrow k^2 \left( {x_0^2 - \alpha ^2 } \right) = y_0^2 + \beta ^2 \Leftrightarrow k^2 x_0^2 - k^2 \alpha ^2 = y_0^2 + \beta ^2 \Leftrightarrow }$ $\displaystyle{ \boxed{k^2 x_0^2 - y_0^2 = k^2 \alpha ^2 + \beta ^2 } }$

οπότε ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος του $\displaystyle{ M }$ είναι η υπερβολή με εξίσωση $\displaystyle{ \boxed{k^2 x^2 - y^2 = k^2 \alpha ^2 + \beta ^2 } }$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Φιλικά
Στάθης

Γιώργος Κ77 · #4

Γιώργος Κ77 · #5

Για το συγκεκριμένο θέμα θα ήταν πολύ χρήσιμη η πρόταση :

Αν η ευθεία $\epsilon :y=\lambda x+\kappa$ εφάπτεται στην υπερβολή $C:\frac{x^{2}}{\alpha ^{2}}-\frac{y^{2}}{\beta ^{2}}=1$ , τότε ισχύει $\alpha ^{2}\lambda ^{2}-\beta ^{2}=\kappa ^{2}$ .

Προσοχή, η πρόταση αυτή μπορεί να χρησιμοποιείται από τους μαθητές μόνο με απόδειξη.

Υπερβολή 2

Υπερβολή 2

Re: Υπερβολή 2

Re: Υπερβολή 2

Re: Υπερβολή 2

Re: Υπερβολή 2

Μέλη σε σύνδεση