Διανύσματα 6

Γιώργος Κ77 · #1

Δίνεται το ισόπλευρο τρίγωνο $AB\Gamma$ με πλευρά $\alpha =1$ και οι $\kappa ,\lambda ,\mu \in R$ , με $\kappa +\lambda +\mu =0$ .

Να αποδείξετε ότι για οποιοδήποτε σημείο

του επιπέδου του τριγώνου $AB\Gamma$ ισχύει :

$|\kappa \vec{MA}+\lambda \vec{MB}+\mu \vec{M\Gamma }|\geq \frac{\sqrt{3}}{2}|\lambda |$ .

Grigoris K. · #2

Καλησπέρα κ. Γιώργο. Μία προσπάθεια:

Ισχύει $\displaystyle{ LHS = |k\overrightarrow{MA} + (-k -m)\overrightarrow{MB} + m\overrightarrow{MC} | = | k\overrightarrow{BA} + m\overrightarrow{BC} | }$

Άρα αρκεί να δειχθεί $\displaystyle{ | k\overrightarrow{BA} + m\overrightarrow{BC} | \geq \frac{\sqrt{3}}{2}|k+m| \Leftarrow }$

$\displaystyle{ \Leftarrow k^2\overrightarrow{BA}^2 + 2km\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} + m^2\overrightarrow{BC}^2 \geq \frac{3}{4}(k^2 + 2km + m^2) \Leftarrow}$

$\displaystyle{ \Leftarrow k^2 + m^2 + 2km \cdot cos60^o |\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}| \geq \frac{3}{4}(k^2 + 2km + m^2) \Leftarrow }$

$\displaystyle{ \Leftarrow 4(k^2 + m^2 + km) \geq 3(k^2 + 2km + m^2) \Leftarrow (k-m)^2 \geq 0 }$ που ισχύει.

Γιώργος Κ77 · #3

Πολύ ωραία Γρηγόρη.

Διανύσματα 6

Διανύσματα 6

Re: Διανύσματα 6

Re: Διανύσματα 6

Μέλη σε σύνδεση