Διανύσματα 8

Γιώργος Κ77 · #1

Σε κυρτό τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ ισχύει $\vec{A\Delta }=4\vec{B\Gamma }-3\vec{A\Gamma }$ .

Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί x,y

, για τους οποίους ισχύει $\vec{AB}+\vec{A\Delta }=x\vec{A\Gamma }+y\vec{B\Delta }$ .

Γιώργος Απόκης · #2

Είναι : $\overrightarrow{A\Delta}=4\overrightarrow{B\Gamma}-3\overrightarrow{A\Gamma}=4(\overrightarrow{A\Gamma}-\overrightarrow{AB})-3\overrightarrow{A\Gamma}=\overrightarrow{A\Gamma}-4\overrightarrow{AB}$ (1).

H εξίσωση γράφεται : $\displaystyle{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\Delta }=x\overrightarrow{A\Gamma }+y\overrightarrow{B\Delta }\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\Delta }=x\overrightarrow{A\Gamma }+y(\overrightarrow{A\Delta }-\overrightarrow{AB})\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A\Delta }-x\overrightarrow{A\Gamma }-y\overrightarrow{A\Delta }+y\overrightarrow{AB}=\vec{0}\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow(1+y)\overrightarrow{AB}+(1-y)\overrightarrow{A\Delta }-x\overrightarrow{A\Gamma }=\vec{0}\overset{(1)}\Leftrightarrow (1+y)\overrightarrow{AB}+(1-y)(\overrightarrow{A\Gamma }-4\overrightarrow {AB})-x\overrightarrow{A\Gamma }=\vec{0}\Leftrightarrow (-3+5y)\overrightarrow{AB}+(1-y-x)\overrightarrow{A\Gamma }=\vec{0} }$ (2).

Tα τέσσερα σημεία σχηματίζουν τετράπλευρο, άρα τα σημεία $A,B,\Gamma$ δεν είναι συνευθειακά, έτσι τα διανύσματα $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A\Gamma}$ είναι μη συγγραμμικά.

Αν $-3+5y\ne 0$ τότε από τη (2) θα είχαμε : $\displaystyle{\overrightarrow{AB}=\frac{1-x-y}{3-5y}\overrightarrow{A\Gamma}\Rightarrow \overrightarrow{AB} // \overrightarrow{A\Gamma} }$ (άτοπο), άρα $\displaystyle{-3+5y=0\Leftrightarrow \boxed{y=\frac{3}{5}}}$

και τότε από τη (2), έχουμε : $(1-y-x)\overrightarrow{A\Gamma}=\vec 0$ και αφού το $\overrightarrow{A\Gamma}$ είναι μη μηδενικό, θα ισχύει : $\displaystyle{1-y-x=0\Leftrightarrow \boxed{x=\frac{2}{5}}}$ .

Διανύσματα 8

Διανύσματα 8

Re: Διανύσματα 8

Μέλη σε σύνδεση