κύκλος και χορδή

Ιστοσελίδα · #1

Να βρεθεί η ευθεία της οικογένειας $\displaystyle{ (x - y + 2) + \mu \cdot (2x + y - 5) = 0 }$ , $\displaystyle{ \mu \in R }$
που ορίζει στον κύκλο $\displaystyle{ C }$ : $\displaystyle{ (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4 }$
χορδή με μήκος $\displaystyle{ \sqrt 6 }$

Ιστοσελίδα · #2

Η ευθεία $(\epsilon): (2\mu +1)x+(\mu -1)y+2-5\mu =0$ τέμνει τον κύκλο, που έχει κέντρο το K(1,-2)

και ακτίνα R=2 ,

στα σημεία

και

Έστω

το απόστημα της χορδής AB.

Είναι $AC=CB=\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ και στο ορθογώνιο τρίγωνο KCB

έχουμε:

$KC=\sqrt{KB^2-BC^2}=\sqrt{4-\dfrac{6}{4}} = \sqrt{\dfrac{10}{4}}= \dfrac{\sqrt{10}}{2} .$

Είναι $d(K,\epsilon) = KC \Leftrightarrow \dfrac{|(2\mu +1) 1+(\mu -1)(-2)+2-5\mu|}{\sqrt{(2\mu +1)^2+(\mu -1)^2}} = \dfrac{\sqrt{10}}{2} \Leftrightarrow$

$\dfrac{5|\mu -1|}{\sqrt{(2\mu +1)^2+(\mu -1)^2}} = \dfrac{\sqrt{10}}{2} \Leftrightarrow \dfrac{25(\mu -1)^2}{(2\mu +1)^2+(\mu -1)^2} = \dfrac{10}{4} \Leftrightarrow$

$9(\mu -1)^2=(2\mu +1)^2 \Leftrightarrow$

$3(\mu -1)=2\mu +1$ ή $3(\mu -1)=-2\mu -1 \Leftrightarrow$

$\mu = 4$ ή $\mu = \dfrac{2}{5}.$

Οι ζητούμενες ευθείες είναι: $(\epsilon_1): 3x+y-6=0 \; , \; (\epsilon_2): 3x-y=0 .$

κύκλος και χορδή

κύκλος και χορδή

Re: κύκλος και χορδή

Μέλη σε σύνδεση