Διανύσματα 10

Γιώργος Κ77 · #1

Σε κάθε τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ να αποδείξετε ότι $\vec{A\Gamma }\perp \vec{\Delta B}\Leftrightarrow \vec{AB}^{2}+\vec{\Gamma \Delta }^{2}=\vec{A\Delta }^{2}+\vec{B\Gamma }^{2}$ .

#2

Γιώργος Κ77 έγραψε:Σε κάθε τετράπλευρο $AB\Gamma \Delta$ να αποδείξετε ότι $\vec{A\Gamma }\perp \vec{\Delta B}\Leftrightarrow \vec{AB}^{2}+\vec{\Gamma \Delta }^{2}=\vec{A\Delta }^{2}+\vec{B\Gamma }^{2}$ .

Ας θεωρήσουμε ένα σημείο $\displaystyle{O}$ ως αρχή και ας είναι $\displaystyle{\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b},\overrightarrow{OC}=\vec{c},\overrightarrow{OD}=\vec{d}.}$

Τότε,

$\displaystyle{\overrightarrow{AB}^2+\overrightarrow{CD}^2=\overrightarrow{AC}^2+\overrightarrow{BD}^2 \iff (\vec{b}-\vec{a})^2+(\vec{d}-\vec{c})^2=(\vec{d}-\vec{a})^2+(\vec{c}-\vec{b})^2 \iff }$

$\displaystyle{\iff \vec{a}\vec{b}+\vec{c}\vec{d}=\vec{a}\vec{d}+\vec{b}\vec{c} \iff (\vec{a}-\vec{c})(\vec{b}-\vec{d})=0 \iff \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=0 \iff \overrightarrow{AC}\perp \overrightarrow{BD}.}$

Γιώργος Κ77 · #3

Ουσιαστικά αποδείχθηκε η πρόταση :

Οι διαγώνιοι τετραπλεύρου είναι κάθετες, αν και μόνο αν το άθροισμα των τετραγώνων δύο απέναντι πλευρών του

ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών του.

#4

Ας παρατηρηθεί ακόμα, ότι από την παραπάνω απόδειξη φαίνεται πως τα σημεία $\displaystyle{ABCD}$ δεν είναι ανάγκη να είναι συνεπίπεδα.

Επίσης, υπάρχει απόδειξη της ισοδυναμίας με ευκλείδεια γεωμετρία, κάνοντας χρήση του 2ου θεωρήματος των διαμέσων. Αν θέλει κανείς, ας την γράψει.

Διανύσματα 10

Διανύσματα 10

Re: Διανύσματα 10

Re: Διανύσματα 10

Re: Διανύσματα 10

Μέλη σε σύνδεση