Αναζήτηση μεγίστων

KARKAR · #1

Δίνεται ο κύκλος x^2+y^2=4

και το σημείο του A(-2,0)

. Σημείο

διαφορετικό του

,

κινείται επί του κύκλου , ενώ

είναι η προβολή του επί του

άξονα . Η

τέμνει

την ευθεία x=4

στο σημείο

. 1) Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $AS{\cdot}AT$

2) Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου ASP

.

#2

KARKAR έγραψε:Δίνεται ο κύκλος και το σημείο του . Σημείο διαφορετικό του ,

κινείται επί του κύκλου , ενώ είναι η προβολή του επί του άξονα . Η τέμνει

την ευθεία στο σημείο . 1) Βρείτε τη μέγιστη τιμή του γινομένου $AS{\cdot}AT$

2) Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

: 3.png (26.04 KiB) Προβλήθηκε 331 φορές

1) Ας είναι $\displaystyle{ \left\{ {A,B} \right\} \equiv x'x \cap \left( O \right) \Rightarrow \boxed{A\left( { - 2,0} \right),B\left( {2,0} \right)} }$ και $\displaystyle{ C \equiv \left( \varepsilon \right) \cap x'x \Rightarrow \boxed{C\left( {4,0} \right)} }$

Με $\displaystyle{ \widehat{ASB}\mathop = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta \,\,\sigma \varepsilon \,\,\eta \mu \iota \kappa \upsilon \kappa \lambda \iota o} 90^0 = \widehat{TCB} \Rightarrow BCTS }$ εγγράψιμο και για τις χορδές του περικυκλίου του $\displaystyle{ ST,BC }$

που οι προεκτάσεις τους τέμνονται στο $\displaystyle{ A }$ ισχύει: $\displaystyle{ AS \cdot AT = AB \cdot AC = 4 \cdot 6 = 24 = ct }$

2) Αν $\displaystyle{ S' \equiv SP \cap \left( O \right) \Rightarrow \vartriangle ASS' }$ ισοσκελές (λόγω συμμετρίας) $\displaystyle{ \left( {AS = AS'} \right) }$ και $\displaystyle{ \boxed{\left( {ASP} \right) = \frac{{\left( {ASS'} \right)}} {2}}:\left( 1 \right) }$

Για το ισοσκελές τρίγωνο $\displaystyle{ \vartriangle ASS' }$ που είναι εγγεγραμμένο σε σταθερό κύκλο ακτίνας $\displaystyle{ R = 2 }$ ισχύει (είναι άσκηση του σχολικού βιβλίου της Γ’ Λυκείου)

$\displaystyle{ \cdots \left( {ASS'} \right) = R^2 \cdot \eta \mu A\left( {1 + \sigma \upsilon \nu A} \right) \Rightarrow \boxed{\left( {ASS'} \right) = 4 \cdot \eta \mu A\left( {1 + \sigma \upsilon \nu A} \right)} }$ η μεγιστοποίηση του οποίου γίνεται (εύκολα με παραγώγους) για $\displaystyle{ A = 60^0 }$

άρα $\displaystyle{ \max \left( {ASS'} \right) = 4\eta \mu 60^0 \left( {1 + \sigma \upsilon \nu 60^0 } \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 1 \right)} \max \left( {ASP} \right) = 2\eta \mu 60^0 \left( {1 + \sigma \upsilon \nu 60^0 } \right) = 2\frac{{\sqrt 3 }} {2}\left( {1 + \frac{1} {2}} \right) \Rightarrow }$ $\displaystyle{ \boxed{\max \left( {ASS'} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }} {2}} }$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Στάθης

Υ.Σ. Δεν ξέρω αν μπορούμε (χωρίς παραγώγους) να δείξουμε ότι ένα ισοσκελές τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο σταθερής ακτίνας έχει μέγιστο εμβαδόν αν γίνει ισόπλευρο

parmenides51 · #3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Υ.Σ. Δεν ξέρω αν μπορούμε (χωρίς παραγώγους) να δείξουμε ότι ένα ισοσκελές τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο σταθερής ακτίνας έχει μέγιστο εμβαδόν αν γίνει ισόπλευρο

εδώ για τυχαίο τρίγωνο

μια γεωμετρική λύση βρίσκεται στην εργασία του Καρρά Μέγιστα Ελάχιστα χωρίς παραγώγους, Εφαρμογές της Ανισότητας Cauchy εδώ (σελίδα 29)
(αναφέρθηκε πάλι εδώ)

Αναζήτηση μεγίστων

Αναζήτηση μεγίστων

Re: Αναζήτηση μεγίστων

Re: Αναζήτηση μεγίστων

Μέλη σε σύνδεση