Διανυσματικές εξισώσεις

[peter]

1. Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα . Να προσδιορισθεί το διάνυσμα που ικανοποιεί τη σχέση:
.

2. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα . Να προσδιορισθούν όλα τα μοναδιαία διανύσματα που ικανοποιούν τη σχέση: .

3. Θεωρούμε τα μη συγγραμμικά διανύσματα . Να προσδιορισθεί το διάνυσμα ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: .

[Mihalis_Lambrou]

1. Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα . Να προσδιορισθεί το διάνυσμα που ικανοποιεί τη σχέση:
.

Παίρνω την περίπτωση που τα α, β δεν είναι συγγραμμικά. Στην περίπτωση της συγγραμμικότητας, α =β, και η άσκηση είναι απλή).

Στην περίπτωση μη συγγραμμικότητας, η Cauchy-Schwarz δίνει ότι -1 < α.β < 1 (δηλαδή 1-α.β μη μηδενικό, που θα χρειαστεί παρακάτω).

Παίρνοντας, στην αρχική συνθήκη, εσωτερικό γινόμενο ως προς 1, και μετά ως προς β,
θα καταλήξουμε σε ένα γραμμικό σύστημα ως προς α.χ, β.χ. Η λύση του θα δώσει α.χ = β.χ = (1 + α.β)/(2α.β) (εδώ χρησίμευσε η 1 - α.β διάφορο του 0, σε μία διαίρεση)

Βάζοντας αυτές τις τιμές στην αρχική, δίνει αμέσως το χ. Ελέγχουμε το αντίστροφο.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

[Mihalis_Lambrou]

2. Δίνονται τα μη μηδενικά διανύσματα . Να προσδιορισθούν όλα τα μοναδιαία διανύσματα που ικανοποιούν τη σχέση: .

Είναι |α| + |β| = χ.(α+β) |χ|.|α+β| = |α+β| |α| + |β|,

και άρα ισότητα παντού.

Έχουμε δύο συμπεράσματα: 1) το χ είναι συγγραμμικό με το α+β (διότι χ.(α+β) = |α+β|)
2) το α, β είναι συγγραμμικά (διότι |α+β| = |α| + |β|.

Είναι δηλαδή χ = λα (άρα χ = α/|α| ως μοναδιαίο)
και β = μα.
Ουσιαστικά τελειώσαμε αλλά μπορούμε να συνεχίσουμε (απλό) για να πούμε κάτι και για το μ. Στο τέλος κάνουμε έλεγχο των τιμών του χ που βρήκαμε.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

[Mihalis_Lambrou]

3. Θεωρούμε τα μη συγγραμμικά διανύσματα . Να προσδιορισθεί το διάνυσμα ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: .

Η πρώτη εξίσωση δίνει (χ - α - β).α = 0 και η δεύτερη (χ -α -β).(α+β) = 0.
Αφού λοιπόν το χ - α- β είναι κάθετο στα γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα α και α + β
είναι ίσο με 0.

Δηλαδή χ = α+β, που επαληθεύει τις αρχικές.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου