Άσκηση στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

dimplak · #1

Δίνεται ορθογώνιο ΑΒΓΔ, οι προβολές Ε,Ζ των Α,Γ αντίστοιχα στη διαγώνιο ΒΔ και τα μέσα Κ,Λ των ΑΒ,ΒΓ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι τα ΕΚ,ΖΛ είναι κάθετα.

#2

............

konkyr · #3

Ισχύει $\vec{AE}=\vec{ZG}$ (με G εννοώ το Γ) αφού είναι παράλληλα ,έχουν ίδια φορά και ίσα μέτρα λόγω τησ ισότητας των τριγώνων ΑΔΕ και ΖΒΓ.
Επίσης Κ , Λ μέσα άρα $\vec{EK}=\frac{1}{2}(\vec{EA}+\vec{EB})$ ΚΑΙ $\vec{ZL}=\frac{1}{2}(\vec{ZB}+\vec{ZG})$

4 $\vec{EK}*\vec{ZL}=(\vec{EA}+\vec{EB})(\vec{ZB}+\vec{ZG)}=$ $(-\vec{ZG}+\vec{EB})(\vec{ZB}+\vec{ZG})=-\vec{ZG^{2}}-\vec{ZG*\vec{ZB}}+\vec{EB}*\vec{ZB}+\vec{EB}*\vec{ZG}=-|\vec{ZG|}^{2}+|\vec{EB|}|\vec{ZB}|*1=-|\vec{ZG}|^{2}+||\vec{EB}|*|\vec{DE|}=-(ZG)^{2}+(AE)^{2}=0$
άΡΑ ΕΚ, ΖΛ κάθετα διανύσματα

ΔΕ*ΕΒ=ΑΕ $^{2}$ από μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο ΑΔΒ

Ιστοσελίδα · #4

Και η γεωμετρική λύση του προβλήματος

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΕΒ η ΕΚ είναι διάμεσος οπότε ΚΕ = ΑΒ/2= ΚΒ επομένως το τρίγωνο ΚΕΒ είναι ισοσκελές οπότε B_1 = x_1 = x

Αντίστοιχα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΖΓ έχουμε: B_2 = y

όμως

άρα ΚΕ κάθετη στην ΖΛ

Κλασσική άσκηση από το παλιό σχολικό βιβλίο του αγαπητού συνάδελφου Γιώργου Τασόπουλου καθηγητή Βαρβακείου που παρακολουθεί τα δρώμενα του mathematica

Μάκης Χατζόπουλος · #5

spyrosk έγραψε:Κλασσική άσκηση από το παλιό σχολικό βιβλίο του αγαπητού συνάδελφου Γιώργου Τασόπουλου καθηγητή Βαρβακείου που παρακολουθεί τα δρώμενα του mathematica

Που είχαμε και την τιμή να τον γνωρίσουμε Σπύρο στην πρόσφατη συνάντησή μας, στην γνωστή ταβέρνα

parmenides51 · #6

dimplak έγραψε:Δίνεται ορθογώνιο $\displaystyle{AB\Gamma \Delta}$ , οι προβολές $\displaystyle{E,Z}$ των $\displaystyle{A,\Gamma}$ αντίστοιχα στη διαγώνιο $\displaystyle{B\Delta}$ και τα μέσα $\displaystyle{K,\Lamda}$ των $\displaystyle{AB,B\Gamma}$ αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι τα $\displaystyle{EK,Z\Lambda}$ είναι κάθετα.

Μια άλλη ιδέα με γεωμετρικούς μετασχηματισμούς

: Άσκηση στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων.png (7.39 KiB) Προβλήθηκε 1312 φορές

τα τρίγωνα $\displaystyle{AEB, BZ\Gamma }$ είναι όμοια ως ορθογώνια με μια γωνία ίση ( $\displaystyle{ \widehat{BAE}= \widehat{ZB\Gamma} }$ ως οξείες γωνίες με πλευρές κάθετες)

το τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle BZ\Gamma }$ προκύπτει από το τρίγωνο $\displaystyle{\vartriangle AEB}$ με την σύνθεση των παρακάτω διαδοχικών μετασχηματισμών

α) της περιστροφής κατά $\displaystyle{90^o}$ αντίθετα με την φορά του ρολογιού

β) την παράλληλη μεταφορά κατά μήκος του διανύσματος $\displaystyle{\overrightarrow {AB}}$

γ) της ομοιοθεσίας με κέντρο το σημείο $\displaystyle{B}$ και λόγο $\displaystyle{\frac{AB}{B\Gamma}}$

οπότε τα αντίστοιχα στοιχεία τους θα είναι κάθετα (αφού η μόνη στροφή ήταν κατά $\displaystyle{90^o}$ ) , οπότε οι διαμέσοι αυτών $\displaystyle{EK,Z\Lambda}$ θα είναι κάθετοι

Υ.Γ. Ας βάλει κάποιος πιο σχετικός με τους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς ένα σχήμα για να φαίνεται καλύτερα ό,τι έγραψα παραπάνω.

Γιώργος Απόκης · #7

Η άσκηση υπάρχει και στο τωρινό βιβλίο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας (9 από Αποδεικτικές, σελ. 111)

Άσκηση στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Άσκηση στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Re: Άσκηση στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Re: Άσκηση στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Re: Άσκηση στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Re: Άσκηση στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Re: Άσκηση στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Re: Άσκηση στο εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων

Μέλη σε σύνδεση