Απόδειξη θεωρημάτων της Γεωμετρίας με χρήση διανυσμάτων
Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας
Απόδειξη θεωρημάτων της Γεωμετρίας με χρήση διανυσμάτων
Απόδειξη θεωρημάτων γεωμετρίας μέσω διανυσμάτων!!!
1. Αν ύψος ορθογωνίου τριγώνου (), να αποδείξετε ότι:
α) (1)
και αντιστρόφως αν ισχύει η (1) τότε
β) (2)
και αντιστρόφως αν ισχύει η (2) τότε .
2. Να αποδειχθεί, με τη βοήθεια διανυσμάτων, ότι στο ισοσκελές τρίγωνο, η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση είναι και ύψος.
3. Αν μέσο της πλευράς τριγώνου, να αποδειχθεί ότι:
α)
(1ο θεώρημα διαμέσων)
β) ,
όπου η προβολή τουστη . (2ο θεώρημα διαμέσων)
4. Με τη βοήθεια διανυσμάτων, να αποδείξετε ότι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της και αντίστροφα, αν η διάμεσος που αντιστοιχεί σε μια πλευρά ενός τριγώνου είναι ίση με το μισό της τότε το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή.
Μετατροπή συνημμένου σε κείμενο. Παρακαλούμε στα μέλη μας να μην απαντούν σε αναρτήσεις που δεν είναι σύμφωνες με τον κανονισμό μας. Συνήθως μη συμβατά μηνύματα διαγράφονται.
ΓΣ
1. Αν ύψος ορθογωνίου τριγώνου (), να αποδείξετε ότι:
α) (1)
και αντιστρόφως αν ισχύει η (1) τότε
β) (2)
και αντιστρόφως αν ισχύει η (2) τότε .
2. Να αποδειχθεί, με τη βοήθεια διανυσμάτων, ότι στο ισοσκελές τρίγωνο, η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση είναι και ύψος.
3. Αν μέσο της πλευράς τριγώνου, να αποδειχθεί ότι:
α)
(1ο θεώρημα διαμέσων)
β) ,
όπου η προβολή τουστη . (2ο θεώρημα διαμέσων)
4. Με τη βοήθεια διανυσμάτων, να αποδείξετε ότι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της και αντίστροφα, αν η διάμεσος που αντιστοιχεί σε μια πλευρά ενός τριγώνου είναι ίση με το μισό της τότε το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή.
Μετατροπή συνημμένου σε κείμενο. Παρακαλούμε στα μέλη μας να μην απαντούν σε αναρτήσεις που δεν είναι σύμφωνες με τον κανονισμό μας. Συνήθως μη συμβατά μηνύματα διαγράφονται.
ΓΣ
τελευταία επεξεργασία από Γενικοί Συντονιστές σε Σάβ Νοέμ 03, 2012 10:54 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Λόγος: Μετατροπή συνημμένου σε κείμενο με LaTeX
Λόγος: Μετατροπή συνημμένου σε κείμενο με LaTeX
- ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
- Δημοσιεύσεις: 681
- Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα
- Επικοινωνία:
Re: Απόδειξη θεωρημάτων της Γεωμετρίας με χρήση διανυσμάτων
Ας ξεκινήσω με το 3α (1ο θεώρημα των διαμέσων)
Επειδή το είναι το μέσο της έχουμε καθώς και
Ακόμα
και
Έχουμε
Ας βάλω και το 3β (2ο θεώρημα των διαμέσων)
διότι οπότε
Επειδή το είναι το μέσο της έχουμε καθώς και
Ακόμα
και
Έχουμε
Ας βάλω και το 3β (2ο θεώρημα των διαμέσων)
διότι οπότε
- ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
- Δημοσιεύσεις: 681
- Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα
- Επικοινωνία:
Re: Απόδειξη θεωρημάτων της Γεωμετρίας με χρήση διανυσμάτων
Ας δουμε και την δεύτερη
Θεωρούμε τα διανύσματα και
Τότε
Και
Ομως παραπληρωματικές ,οπότε
Αν η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση ,αρκεί να δείξουμε ότι
Εχουμε
Θεωρούμε τα διανύσματα και
Τότε
Και
Ομως παραπληρωματικές ,οπότε
Αν η διάμεσος που αντιστοιχεί στη βάση ,αρκεί να δείξουμε ότι
Εχουμε
- Συνημμένα
-
- Χωρίς τίτλο.png (12.21 KiB) Προβλήθηκε 3817 φορές
- ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΚΑΤΣΙΠΟΔΑΣ
- Δημοσιεύσεις: 681
- Εγγραφή: Δευ Απρ 20, 2009 8:25 pm
- Τοποθεσία: Καλαμάτα
- Επικοινωνία:
Re: Απόδειξη θεωρημάτων της Γεωμετρίας με χρήση διανυσμάτων
και σκεφτόμουν, δεν μπορει να είναι τόσο δύσκολο....KARKAR έγραψε:Αλλιώς το 2) :
σίγουρα κρατάμε την δική σου λύση. Η δική μου είναι μπελάς...
Re: Απόδειξη θεωρημάτων της Γεωμετρίας με χρήση διανυσμάτων
Για το 4 μπορεί να χρησιμοποιηθεί εύκολα το θεώρημα διαμέσων
από το πρώτο ερώτημα και για το ευθύ και για το αντίστροφο.
Πιστεύω ότι ο solon μπορεί να το κάνει
από το πρώτο ερώτημα και για το ευθύ και για το αντίστροφο.
Πιστεύω ότι ο solon μπορεί να το κάνει
Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Απόδειξη θεωρημάτων της Γεωμετρίας με χρήση διανυσμάτων
Άλλη μια (η λύση με διανύσματα είναι ευκολότερη από αυτήν με ευκλείδεια):
Έστω τρίγωνο με . Φέρνουμε ευθύγραμμο τμήμα κάθετο και ίσο προς την πλευρά καθώς και ευθύγραμμο τμήμα κάθετο και ίσο προς την πλευρά , έτσι ώστε .
Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από το και το μέσον της είναι κάθετη προς την ευθεία .
Έστω τρίγωνο με . Φέρνουμε ευθύγραμμο τμήμα κάθετο και ίσο προς την πλευρά καθώς και ευθύγραμμο τμήμα κάθετο και ίσο προς την πλευρά , έτσι ώστε .
Να αποδείξετε ότι η ευθεία που διέρχεται από το και το μέσον της είναι κάθετη προς την ευθεία .
Θανάσης Κοντογεώργης
- exdx
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1733
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 6:00 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Απόδειξη θεωρημάτων της Γεωμετρίας με χρήση διανυσμάτων
Πραγματικά είναι εύκολη
αφού τα διανύσματα στην τελευταία γραμμή έχουν ίσα μέτρα και η μεταξύ τους γωνία είναι
αφού τα διανύσματα στην τελευταία γραμμή έχουν ίσα μέτρα και η μεταξύ τους γωνία είναι
- Συνημμένα
-
- Untitled.png (10.59 KiB) Προβλήθηκε 3651 φορές
Kαλαθάκης Γιώργης
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13231
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Απόδειξη θεωρημάτων της Γεωμετρίας με χρήση διανυσμάτων
Έστω τρίγωνο και η διάμεσός του .solon28 έγραψε:Απόδειξη θεωρημάτων γεωμετρίας μέσω διανυσμάτων!!!
4. Με τη βοήθεια διανυσμάτων, να αποδείξετε ότι η διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της και αντίστροφα, αν η διάμεσος που αντιστοιχεί σε μια πλευρά ενός τριγώνου είναι ίση με το μισό της τότε το τρίγωνο αυτό είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την πλευρά αυτή.
● Αν , τότε και , οπότε τελικά
● Aν , τότε:
, άρα
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Απόδειξη θεωρημάτων της Γεωμετρίας με χρήση διανυσμάτων
Ουσιαστικά, πρόκειται για μια πρόταση διδασκαλίας των Μαθηματικών στην Β ΓΕΛ Προσανατολισμού
με στόχο την πολλαπλή αντιμετώπιση των μαθηματικών ασκήσεων και προβλημάτων. Αυτό είναι ένα από τα ζητούμενα της εκπαίδευσης στα Μαθηματικά. Καλό είναι να δείχνουμε στους μαθητές ότι μπορούν να κάνουν χρήση στοιχειώδών πρακτικών (στην περίπτωσή μας χωρίς χρήση του εσωτερικού γινομένου, θεωρήματος προβολών που το έδιωξαν το έρημο κακήν κακώς, κλπ).
Απόδειξη ότι .
με στόχο την πολλαπλή αντιμετώπιση των μαθηματικών ασκήσεων και προβλημάτων. Αυτό είναι ένα από τα ζητούμενα της εκπαίδευσης στα Μαθηματικά. Καλό είναι να δείχνουμε στους μαθητές ότι μπορούν να κάνουν χρήση στοιχειώδών πρακτικών (στην περίπτωσή μας χωρίς χρήση του εσωτερικού γινομένου, θεωρήματος προβολών που το έδιωξαν το έρημο κακήν κακώς, κλπ).
Απόδειξη ότι .
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Απόδειξη θεωρημάτων της Γεωμετρίας με χρήση διανυσμάτων
Μπορεί κάποιος να μου δώσει λύση στα εξής
Δείξτε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών σε ένα τραπέζιο είναι παράλληλο προς τις βάσεις και ίσο με το ημιαθροισμα τους
Και 2 δείξτε ότι το ευθ τμήμα που ενώνει τα μέσα των διαγωνιων σε ένα τραπέζιο ειναι παράλληλο προς τις βάσεις και ίσο με την ημιδιαφορα τους
Δείξτε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών σε ένα τραπέζιο είναι παράλληλο προς τις βάσεις και ίσο με το ημιαθροισμα τους
Και 2 δείξτε ότι το ευθ τμήμα που ενώνει τα μέσα των διαγωνιων σε ένα τραπέζιο ειναι παράλληλο προς τις βάσεις και ίσο με την ημιδιαφορα τους
- Ανδρέας Πούλος
- Δημοσιεύσεις: 1494
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 01, 2009 10:47 pm
- Τοποθεσία: ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ
- Επικοινωνία:
Re: Απόδειξη θεωρημάτων της Γεωμετρίας με χρήση διανυσμάτων
Έστω ABCD το τραπέζιο.
Ονομάζουμε συντομογραφικά , θεωρούμε ότι οι βάσεις του τραπεζίου είναι οι και .
Από εδώ προκύπτει ότι .
Αν οονομάσουμε και τα μέσα των διανυσμάτων και αντίστοιχα, θα έχουμε:
.
Με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται και το δεύτερο ζητούμενο. Τέτοια θέματα δεν παρουσιάζουν δυσκολία. Αρκεί να γνωρίζουμε τους ορισμούς των θεμάτων τα οποία πραγματευόμαστε π.χ. τι είναι τραπέζιο, τι είναι μέσο τμήματος κλπ.
Όπως τονίσαμε πάλι, η προσέγγιση - απόδειξη των θεωρημάτων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας μέσω της Διανυσματικής Γεωμετρίας διευκολύνει να κατανοήσουμε τη χρήση και τη χρησιμότητα των διανυσμάτων.
Ονομάζουμε συντομογραφικά , θεωρούμε ότι οι βάσεις του τραπεζίου είναι οι και .
Από εδώ προκύπτει ότι .
Αν οονομάσουμε και τα μέσα των διανυσμάτων και αντίστοιχα, θα έχουμε:
.
Με όμοιο τρόπο αποδεικνύεται και το δεύτερο ζητούμενο. Τέτοια θέματα δεν παρουσιάζουν δυσκολία. Αρκεί να γνωρίζουμε τους ορισμούς των θεμάτων τα οποία πραγματευόμαστε π.χ. τι είναι τραπέζιο, τι είναι μέσο τμήματος κλπ.
Όπως τονίσαμε πάλι, η προσέγγιση - απόδειξη των θεωρημάτων της Ευκλείδειας Γεωμετρίας μέσω της Διανυσματικής Γεωμετρίας διευκολύνει να κατανοήσουμε τη χρήση και τη χρησιμότητα των διανυσμάτων.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες