Ισοδυναμία

#1

Έστω

τα μήκη των πλευρών τριγώνου ABC

και

τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του με τις πλευρές του.
Έστω, ακόμη,

το βαρύκεντρό του.
Να δείξετε ότι $\displaystyle{a\overrightarrow{GD} + b\overrightarrow{GE} + c\overrightarrow{GF} = \overrightarrow{0}}$ αν, και μόνο αν, το τρίγωνο ABC

είναι ισόπλευρο.

#2

Επαναφορά!

Γιώργος Απόκης · #3

Aς ξεκινήσω με το (εύκολο) ευθύ:

: DEF.png (24.55 KiB) Προβλήθηκε 472 φορές

Έστω ότι το τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ είναι ισόπλευρο. Τότε $\displaystyle{b=c=a}$ και το βαρύκεντρο $\displaystyle{G}$ συμπίπτει με το έγκεντρο.

Επομένως τα διανύσματα $\displaystyle{\overrightarrow{GD},\overrightarrow{GE},\overrightarrow{GF}}$ βρίσκονται στους φορείς των διαμέσων $\displaystyle{AD,AE,AF}$ αντίστοιχα

και άρα $\displaystyle{\overrightarrow{GD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\cdot \frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}{2}=\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right),~\overrightarrow{GE}=\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right),~\overrightarrow{GF}=\frac{1}{6}\left(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)}$ .

Επομένως, $\displaystyle{a\overrightarrow{GD} + b\overrightarrow{GE} + c\overrightarrow{GF} =a\left(\overrightarrow{GD} +\overrightarrow{GE} +\overrightarrow{GF} \right)=\frac{a}{6}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}\right)= \overrightarrow{0}}$

abgd · #4

Μια δύσκολη λύση

Είναι
$\displaystyle a\overrightarrow{GD}+b\overrightarrow{GE}+c\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0} \ \ \ \color{red}\bf (1)$

$\displaystyle \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0} \ \ \ \color{red}\bf (2)$

και με το θεώρημα διχοτόμων

$\displaystyle a\overrightarrow{GA}+c\overrightarrow{GC}=(a+c)\overrightarrow{GE} \ \ \ \color{red}\bf (3a)$
$\displaystyle c\overrightarrow{GC}+b\overrightarrow{GB}=(c+b)\overrightarrow{GD} \ \ \ \color{red}\bf (3b)$
$\displaystyle b\overrightarrow{GB}+a\overrightarrow{GA}=(b+a)\overrightarrow{GF} \ \ \ \color{red}\bf (3c)$

Από τις $\displaystyle \color{red}\bf (1), \ \ (3)$

$\displaystyle \left(\frac{ac}{a+b}+\frac{ab}{a+c}\right)\overrightarrow{GA}+\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}\right)\overrightarrow{GB}+\left(\frac{ac}{b+c}+\frac{bc}{a+c}\right)\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$

Από την $\displaystyle \color{red}\bf (2)$

$\displaystyle \left(\frac{ac}{a+b}+\frac{ab}{a+c}-\frac{ac}{b+c}-\frac{bc}{a+c}\right)\overrightarrow{GA}=-\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}-\frac{ac}{b+c}-\frac{bc}{a+c}\right)\overrightarrow{GB}$

οπότε

$\displaystyle \frac{ac}{a+b}+\frac{ab}{a+c}-\frac{ac}{b+c}-\frac{bc}{a+c}=0$

και

$\displaystyle \frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}-\frac{ac}{b+c}-\frac{bc}{a+c}=0$

Οι δύο τελευταίες μας δίνουν τις

$\displaystyle c=a, \ \ ac(a+c)=b(b+c)(a+b)$

$\displaystyle c=b, \ \ bc(b+c)=a(a+c)(a+b)$

Εδώ μπορούμε να ελέγξουμε ότι ο μοναδικός δυνατός συνδυασμός είναι

$\displaystyle c=a=b$

Ισοδυναμία

Ισοδυναμία

Re: Ισοδυναμία

Re: Ισοδυναμία

Re: Ισοδυναμία

Μέλη σε σύνδεση