Απόδειξη καθετότητας διανυσμάτων.

dimplak · #1

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ), το ύψος του ΑΜ και το σημείο Δ που διαιρεί το $\overrightarrow{AB}$ σε απλό λόγο $\frac{1}{2}$ . Αν η ευθεία ΜΔ τέμνει την ευθεία ΓΑ στο σημείο Ε, να αποδειχθεί ότι το ΕΒ ειναι κάθετο στο ΒΓ.

Χρήστος Λαζαρίδης · #2

Ένας κουραστικός τρόπος.
Θεωρούμε σύστημα αναφοράς με αρχή Μ(0,0) και άξονα χ΄χ την ευθεία ΒΓ.
Το τρίγωνο είναι ισοσκελές, άρα θέτουμε Β(-2β,0), Γ(2β,0).
Έστω Δ(x,y), τότε:
$\displaystyle{3\overrightarrow {A\Delta } = \overrightarrow {AB} \Rightarrow (x,y) = ( - \frac{{2\beta }}{3},\frac{{4\alpha }}{3})}$ .
Έχουμε: $\displaystyle{{\rm M}\Delta :y = - \frac{{2\alpha }}{\beta }x}$ και $\displaystyle{{\rm A}\Gamma :y = - \frac{\alpha }{\beta }x + 2\alpha }$ .
Λύνοντας το σύστημα των ΜΔ,ΑΓ προκύπτει: Ε(-2β,4α).
$\displaystyle{\overrightarrow {{\rm E}B} = (0, - 4\alpha ),\overrightarrow {B\Gamma } = (4\beta ,0)}$ , άρα $\displaystyle{{\rm E}{\rm B} \bot {\rm B}\Gamma }$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Φιλικά Χρήστος

dimplak · #3

Με το σύστημα των αξόνων προκύπτει εύκολα η λύση. Όμως, πως θα δείξουμε διανυσματικά ότι το σημείο Δ είναι βαρύκεντρο;

#4

Καλημέρα
Αφού $\frac{\vec{AD}}{\vec{DB}}=\frac{1}{2}$ τότε $\vec{AD}=\frac{1}{3}\vec{AB}$ (1)
αφού Μ,Δ.Ε και Γ,Α,Ε συνευθειακά σημεία έχουμε ότι $\vec{MD}=k\vec{ME}$ και $\vec{AE}=p\vec{AG}$ και τελικά προκύπτει ότι
$(k-\frac{1}{3})\vec{AB}=(2kp+1-k)\vec{AG}$ και αφού τα διανύσματα ΑΒ και ΑΓ είναι μη συγγραμμικά προκύπτει ότι κ = $\frac{1}{3}$ και ρ = -1
Άρα το σημείο Α είναι μέσο του ΓΕ και το Δ βαρύκεντρο του τριγώνου ΕΒΓ.
και ΑΜ//ΒΕ άρα ΒΕ κάθετο στη ΒΓ
Ελπίζω να μου συγχωρήσετε ότι γράφω τα μισά με latex και τα άλλα κανονικά,που θα μου πάει ....καθυστερώ υπερβολικά αλλά θα το μάθω
Χρήστος

Απόδειξη καθετότητας διανυσμάτων.

Απόδειξη καθετότητας διανυσμάτων.

Re: Απόδειξη καθετότητας διανυσμάτων.

Re: Απόδειξη καθετότητας διανυσμάτων.

Re: Απόδειξη καθετότητας διανυσμάτων.

Μέλη σε σύνδεση