Η εξίσωση της τροχιάς της γης γύρω από τον ήλιο

[thanasis kopadis]

Eίναι βέβαιο ότι οι βασικές μαθηματικές έννοιες εμπεδώνονται καλύτερα όταν συσχετίζονται με προβλήματα που αναφέρονται στη ζωή, στην τεχνολογία και στις άλλες επιστήμες. Εξάλλου ιστορικά τα μαθηματικά δημιουργήθηκαν και αναπτύχθηκαν από την ανάγκη λύσης πρακτικών προβλημάτων, επομένως θα πρέπει να διδάσκονται και μέσα από τις εφαρμογές τους.

Ο Johanes Kepler (1571-1620), Γερμανός μαθηματικός και αστρονόμος, ήταν βοηθός του Δανού αστρονόμου Tycho Brahe (1546-1601), ο οποίος για τουλάχιστον μια εικοσαετία έκανε εξαιρετικά ακριβείς καταγραφές των θέσεων των πλανητών. Κάποια στιγμή ανέθεσε στον Kepler να βρει μία τροχιά που να περιγράφει τη θέση του Άρη οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Ύστερα από 6 χρόνια, το 1609, ο Kepler δημοσίευσε τους δύο πρώτους νόμους της κίνησης των πλανητών.
1) Νόμος των ελλειπτικών τροχιών
Η τροχιά κάθε πλανήτη είναι έλλειψη και σε μια από τις εστίες της βρίσκεται ο ήλιος.
2) Νόμος των εμβαδών
Σε ίσους χρόνους το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει τον ήλιο με ένα πλανήτη διαγράφει ίσα εμβαδά.
Δέκα χρόνια αργότερα δημοσίευσε και τον τρίτο νόμο της κίνησης των πλανητών, που είναι ο:
3)Νόμος των χρόνων
Το τετράγωνο του χρόνου περιστροφής ενός πλανήτη γύρω από τον ήλιο είναι ανάλογο του κύβου της μέσης απόστασης του πλανήτη από τον ήλιο.

Τα θεμέλια είχαν μπει. Λίγα χρόνια αργότερα ο Isaac Newton(1642-1727) συνέθεσε τους τρεις νόμους του Kepler στον περίφημο νόμο της παγκόσμιας έλξης:


Το πρόβλημα
Η μικρότερη απόσταση της γης από τον ήλιο (περιήλιο) είναι εκατομμυρια χιλιόμετρα και η μεγαλύτερη (αφήλιο) εκατομμύρια χιλιόμετρα. Χρησιμοποιώντας κατάλληλο σύστημα συντεταγμένων να βρείτε την εξίσωση της τροχιάς της γης γύρω από τον ήλιο.

[thanasis kopadis]

Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με μονάδα μέτρησης εκατομμύριο χιλιόμετρα. Από τον πρώτο νόμο του Kepler προκύπτει ότι η εξίσωση της τροχιάς της γης γύρω από τον ήλιο είναι έλλειψη και σε μια από τις εστίες της βρίσκεται ο ήλιος.
Ας υποθέσουμε ότι ο ήλιος βρίσκεται στην εστία .


Τότε αφού το περιήλιο είναι , θα ισχύει και αφού το αφήλιο είναι , θα ισχύει .





Οπότε η εξίσωση της τροχιάς της γης γύρω από τον ήλιο είναι η:

[Mihalis_Lambrou]

Eίναι βέβαιο ότι οι βασικές μαθηματικές έννοιες εμπεδώνονται καλύτερα όταν συσχετίζονται με προβλήματα που αναφέρονται στη ζωή, στην τεχνολογία και στις άλλες επιστήμες.

Σωστό αλλά δεν πρέπει να φτάνουμε στο άλλο άκρο:

Εξάλλου ιστορικά τα μαθηματικά δημιουργήθηκαν και αναπτύχθηκαν από την ανάγκη λύσης πρακτικών προβλημάτων

Αυτό είναι ιστορικά λάθος. Για παράδειγμα οι Κωνικές Τομές στην αρχαία Ελλάδα αναπτύχθηκαν ως η υψηλοτέρα θεωρητική Γεωμετρία, χωρίς εφαρμογές. Οι εφαρμογές τις στους νόμους του Kepler ήρθε πολύ αργότερα. Όμοια, δεν μπορώ να φανταστώ ποιες είναι οι πρακτικές εφαρμογές που οδήγησαν τους μαθηματικούς να καταναλώσουν τόσο πολλή ενέργεια για 300 χρόνια στην επίλυση του τελευταίου θεωρήματος του Fermat.

Άλλωστε, η οπτική που υιοθετούσαν οι αρχαίοι για τα προχωρημένα Μαθηματικά (τονίζω το προχωρημένα σε αντιδιαστολή με τα στοιχειώδη των εφαρμογών) είναι αυτό που γράφει κάπου ο Πλάτωνας (το γράφω από μνήμης οπότε συγχωρέστε μου ενδεχόμενη μικρή αλλά ασήμαντη μικροδιαφορά από το ακριβές κείμενο)

"απώλησθαι και διαφθείρεσθαι της γεωμετρίας τ' αγαθόν ότε παλινδρομεί περί τα πρακτικά"

Το παραπάνω χωρίο μας το σώζει ο Πλούταρχος, ο οποίος γράφει ότι ο Πλάτωνας θεωρούσε βαναυσουργία (δική του η λέξη, του Πλάτωνα) την ενασχόληση των Μαθηματικών με τα πρακτικά θέματα.

Για να συνοψίσω ώστε να μην παρεξηγηθώ: Ναι, συμφωνώ ότι πρέπει να διδάσκουμε Μαθηματικά με τις πρακτικές εφαρμογές στον νου. Όμως το να ισχυριζόμαστε ότι τα Μαθηματικά προχωρούν μόνο με αυτό τον τρόπο, είναι σφάλμα. Τα περισσότερα Μαθηματικά προχωρούν είτε από "φιλοσοφική περιέργεια" του εκάστοτε επινοητή τους, είτε από ανάγκη επίλυσης προβλημάτων μέσα στα ίδια τα Μαθηματικά (π.χ. η Θεωρία Galois αναπτύχθηκε από ανάγκη μελέτης των ριζών πολυωνυμικών εξισώσεων, η Θεωρία Μέτρου ως βελτίωση της θεωρίας ολοκλήρωσης, η Συνολοθεωρία ως ανάγκη τακτοποίησης των αξιωματικών συστημάτων, και πάει λέγοντας).

Φιλικά,

Μιχάλης

[thanasis kopadis]

Συμφωνώ, συνάδελφε. Απλά σήμερα τα μαθηματικά με τον τρόπο που τα διδάσκουμε (ειδικά στη Γ λυκείου) είναι σαν να προπονούμε τους μαθητές να παίξουν μπάλα, αλλά ποτέ δεν τους βάζουμε στο γήπεδο.
Αν βρείτε λίγο χρόνο διαβάστε ένα άρθρο μου:
"Όταν τα μαθηματικά δεν υπηρετούσαν την ύλη, αλλά μόνο το πνέυμα"
εδω: http://thanasiskopadis.blogspot.gr/2011 ... st_21.html

Σας ευχαριστώ πολύ.