απορια-ασκηση κυκλου

kika · #1

μια καθοδηγηση παρακαλω

να βρειτε a, b

ωστε η $(a+1)x^{2}+(a+b)y^{2}-abxy-2x=0$ να παριστανει κυκλο
τι κανω με το γινομενο χψ?
ευχαριστω

Edit: διόρθωσα μερικά σύμβολα c σε y.

M.Λ.

#2

Χρειάζεσαι

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Την έχεις διδαχθεί; Είσαι μαθητής/μαθήτρια ή φοιτητής/φοιτήτρια;

kika · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε:Χρειάζεσαι
ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Στροφή αξόνων
Την έχεις διδαχθεί; Είσαι μαθητής/μαθήτρια ή φοιτητής/φοιτήτρια;

καθηγητρια ειμαι,ωρομισθια,διοριζομαι του χρονου κ την ειδα σε ενα εξωσχολικο γνωστο βιβλιο
ειμαι λιγο απειρη σε διαφορετικες ασκησεις.
δε ξερω αν μου απαντησατε αλλα δε μπορεσα να δω κατι.

#4

Σας καλωσορίζουμε στο mathematica.
Μία αντιμετώπιση σχολική μεν αλλά όχι κομψή:
Για να παριστάνει η καμπύλη κύκλο θα πρέπει το α' μέλος της να μπορεί να πάρει την μορφή:
$m\left( \left( x-x_{0}\right) ^{2}+\left( y-y_{0}\right) ^{2}-R^{2}\allowbreak \right)$
'Αρα πρέπει για άπειρα ζεύγη των x,y

να ισχύει
$\left( a+1\right) x^{2}+\left( a+b\right) y^{2}-abxy-2x-m\left( \left( x-x_{0}\right) ^{2}+\left( y-y_{0}\right) ^{2}-R^{2}\allowbreak \right) =0$
Αυτό σημαίνει ότι το τριώνυμο
$\allowbreak \left( a+b-m\right) y^{2}+\left( 2my_{0}-abx\right) y+\left( a+1\right) x^{2}-\allowbreak 2x-m\left( \left( x-x_{0}\right) ^{2}+y_{0}^{2}-R^{2}\right)$
ως προς

πρέπει να έχει άπειρες ρίζες. Αυτό θα συμβεί μόνο αν οι συντελεστές του είναι μηδέν δηλαδή αν για άπειρα

είναι

$2my_{0}-abx=0$
$\left( a+1\right) x^{2}-\allowbreak 2x-m\left( \left( x-x_{0}\right) ^{2}+y_{0}^{2}-R^{2}\right) =0$
που σημαίνει ότι πρέπει

a+b=m

$2my_{0}=0$
ab=0

$-2+2mx_{0}=0$
$m\left( x_{0}^{2}+y_{0}^{2}-R^{2}\right) =0$

Από τις οποίες βρίσκουμε

$a=0,b=1,y_{0}=0,x_{0}=1,R=1$
Πρόκειται για τον κύκλο
$x^{2}+y^{2}-2x=0$

Ελπίζω να βοήθησα
Μαυρογιάννης

ΥΓ Ψιλοσάπια λύση που θάλεγε ο Αναστάσης Λοτρώνης

kika · #5

ευχαρισττω πολυ

πολυ πιο προχωρημενη η ασκηση απο οτι φαντάστηκα..

#6

Ίσως το ευκολότερο είναι να κοιτάξεις το βιβλίο ή τις σημειώσεις Αναλυτικής Γεωμετρίας που διδάχθηκες στο Πανεπιστήμιο.

Κανονικά πρέπει να υπάρχει κεφάλαιο που εξετάζει στροφή αξόνων. Η διαδικασία είναι στάνταρ και τα βιβλία την χρησιμοποιούν, μεταξύ άλλων, για να ταξινομήσουν τις δευτεροβάθμιες καμπύλες της μορφής ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f =0

.

H διαδικασία καταλήγει (συνήθως με απαλοιφή του όρου xy) σε αναγνώριση αν η καμπύλη είναι κύκλος ή έλλειψη ή παραβολή ή υπερβολή ή τεμνόμενες ευθείες, και λοιπά.

Καλή μελέτη και εδώ είμαστε αν χρειαστείς κάτι ακόμη.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

kika · #7

σιγουρα θα σας ξαναχρειαστω!..
πολυ χρησιμο κ πολυσυλλεκτικο το σαιτ!

#8

Αγαπητή συνάδελφε (δεν ξέρω και το όνομά σου) αρχικά καλωσήρθες στο mathematica,

Στο Λύκειο διδασκόμαστε κωνικές τομές που εκτός από τον κύκλο που μπορεί να έχει τυχαίο κέντρο και η εξίσωσή του παίρνει την μορφή Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0

με την προϋπόθεση ότι A^2+B^2-4C>0

, όλες οι υπόλοιπες (παραβολή, έλλειψη, υπερβολή έχουν την/τις εστία-ες τους επί του άξονα x'x

ή

. Τί γίνεται σε αντίθετη περίπτωση? Απάντηση: Τότε εμφανίζεται ο παράγοντας

.

Αναρωτήσου για παράδειγμα: Λέμε στα παιδιά από την Α' Λυκείου για την υπερβολή $y=\displaystyle\frac{1}{x}$ και όταν τα παιδιά φτάσουν Β Λυκείου μαθαίνουν την υπερβολή $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm 1 \ \ (1)$ που ουδεμία σχέση δεν έχει με την παραπάνω υπερβολή xy=1

. Τότε τι σόι υπερβολή είναι αυτή? Απάντηση: Είναι απλά μία υπερβολή της μορφής (1)

που η εστία της δεν είναι επί του άξονα x'x

ή

και στην οποία αν εφαρμόσουμε στροφή του τυχαίου σημείου (x,y) κατά 45 μοίρες και θα βρούμε την "κανονική" της μορφή όπως η (1)

.

Αναρωτιέμαι μερικές φορές τι θα γινόταν αν έπεφτε ένα θέμα όπως το παραπάνω στον ΑΣΕΠ (ή ακόμα χειρότερα στη διδακτική): Ένας μαθητής της Β' Λυκείου μαθαίνει την εξίσωση της υπερβολής $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm 1$ . Όμως ήδη από την Α Λυκείου γνωρίζει και την εξίσωση της υπερβολής $y=\displaystyle\frac{1}{x}$ και αρχίζει τις ερωτήσεις επί του θέματος (ομοιότητες, διαφορές, πως θα καταλάβουμε ότι είναι υπερβολή και άλλα συναφή).

Αλέξανδρος

kika · #9

αγαπητε συναδελφε (κικη το ονομα μου)
καταρχην ευχαριστω για τις πληροφοριες..αν και ακομα αναρωτιεμαι γιατι η υπερβολη εχει και πλην στον τυπο..

οσο για το σχολιο σου περι διδακτικης αν εμπαινε αυτο στον ασεπ...
ειμαι σιγουρη οτι τα ατομα που θα το εγραφαν θα ηταν απειροελαχιστα.και γω φυσικα θα μουν μια απο αυτους που θα το κοιταγαν..
και δω τωρα αρχιζει μια μεγαλη συζητηση για το ποιος φταει..το εκπαιδευτικο συστημα,η..η...
οπως και να χει...τουλαχιστον εχει σημασια να προσπαθουμε για το καλυτερο.
παντως..το να περασω ασεπ χωρις ιδιαιτερο διαβασμα και με την βαθμολογια που πηρα-που ηταν σχετικα χαμηλη-, διαπιστωσα οτι το επιπεδο της ειδικοτητας ειναι χαμηλο και αυτο πολυ με λυπει.

τελοσπαντων,χαιρομαι πολυ που σας βρηκα γιατι νομιζω θα χρειαστω πολλααα πραγματα!!!

#10

kika έγραψε:αν και ακομα αναρωτιεμαι γιατι η υπερβολη εχει και πλην στον τυπο..

Αγαπητή Κική,

Αυτό ήταν απλά μία συντομία διότι άλλες φορές η υπερβολή έχει εξίσωση $\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ (εστίες στον άξονα x'x

) και άλλες φορές έχει εξίσωση $\displaystyle\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$ (απλά αλλάζεις το ρόλο των a,b

για να ταιριάζει με εκείνο του σχολικού).

kika έγραψε: οσο για το σχολιο σου περι διδακτικης αν εμπαινε αυτο στον ασεπ...
ειμαι σιγουρη οτι τα ατομα που θα το εγραφαν θα ηταν απειροελαχιστα.και γω φυσικα θα μουν μια απο αυτους που θα το κοιταγαν..

Στην παράγραφο 3.5

του σχολικού μαθαίνουμε μετατόπιση των αξόνων οριζόντια και κατακόρυφα. Έτσι η έλλειψη, υπερβολή, παραβολή μπορεί να έχει εστία-ες που δεν είναι επί των αξόνων x'x

και

αλλά ΣΙΓΟΥΡΑ ο άξονας συμμετρίας είναι οριζόντιος ή κατακόρυφος (Ο κύκλος έτσι κι αλλιώς έχει άξονα συμμετρίας οποιαδήποτε ευθεία που περνά από το κέντρο του άρα τα παρακάτω δεν έχουν και πολύ νόημα στον κύκλο).

Η προέκταση αυτής της παραγράφου η οποία υπάρχει κυρίως σε πανεπιστημιακά βιβλία αναλυτικής γεωμετρίας, είναι η περίπτωση στην οποία ο άξονας συμμετρίας της κωνικής τομής είναι μία τυχαία πλάγια ευθεία. Τότε για να μετατρέψουμε την εξίσωσή της σε εξίσωση κωνικής τομής της οποίας τη μορφή γνωρίζουμε, κάνουμε μία στροφή των αξόνων κατά γωνία.

Έτσι αν ορίσουμε αντί για τους κατακόρυφους άξονες x'x

και

, τους κατακόρυφους άξονες X'X

και

τότε για το τυχαίο σημείο

το οποίο έχει συντεταγμένες (x,y)

ως προς τους αρχικούς άξονες και (X,Y)

ως προς τους νέους άξονες και $\phi$ η γωνία που έχει στραφεί ο άξονας x'x

για να πέσει στον άξονα X'X

, θα ισχύει:

$x=X\cos{\phi}-Y \sin{\phi}$ και $Y=X\sin{\phi}+Y\cos{\phi} \ \ (1)$ . (εύκολο να το αποδείξεις. Προσπάθησέ το!)

Έτσι σκέψου ότι η εξίσωση (δεν ξέρω ακόμα ότι παριστάνει υπερβολή) $y=\displaystyle\frac{1}{x}$ έχει άξονα συμμετρίας της διχοτόμο y=x

άρα $\phi=45^{\circ}$ . Άρα η εξίσωση xy=1

στους άξονες x'x

και

με στροφή $45^{\circ}$ θα έχει εξίσωση (σύμφωνα με τους παραπάνω τύπους από την (1)

):

$\displaystyle\left(X\frac{\sqrt{2}}{2}-Y\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot \left(X\frac{\sqrt{2}}{2}+Y\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=1$ δηλαδή

$\displaystyle\frac{X^2}{\left(\sqrt{2}\right)^2}-\frac{Y^2}{\left(\sqrt{2}\right)^2}=1$ ως προς τους νέους άξονες X'X

και

. Μα αυτή ναι!! Είναι πράγματι μία (ισοσκελής) υπερβολή με εστίες τα σημεία E(2,0)

και

(ώς προς τους νέους άξονες) άρα ως προς τους παλιούς έχει εστίες τα σημεία (χρησιμοποίησε τους τύπους (1)

) $E(\sqrt{2},\sqrt{2})$ και $E'(-\sqrt{2},-\sqrt{2})$ .

Τώρα πλέον πράγματι η $y=\displaystyle\frac{1}{x}$ μπορούμε να ισχυριστούμε ότι παριστάνει υπερβολή!

Περισσότερες λεπτομέρειες θα βρεις σε βιβλία αναλυτικής γεωμετρίας που διαπραγματεύονται την ανάλυση της εξίσωσης

Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0

kika έγραψε: παντως..το να περασω ασεπ χωρις ιδιαιτερο διαβασμα και με την βαθμολογια που πηρα-που ηταν σχετικα χαμηλη-, διαπιστωσα οτι το επιπεδο της ειδικοτητας ειναι χαμηλο και αυτο πολυ με λυπει.

Θερμά συγχαρητήρια για την επιτυχία σου αυτή! Σου εύχομαι να τιμήσεις με όποιο τρόπο μπορείς αυτή τη θέση στο δημόσιο σχολείο, θέση μεγάλης ευθύνης!! Τα παιδιά πλέον εκτός από καλούς δασκάλους χρειάζονται και ανθρώπους που θα τα στηρίξουν μέσα στα πολλά προβλήματα της εποχής μας!

Αλέξανδρος

Ιστοσελίδα · #11

Eγώ πέραν των καθιερωμένων ωραίων(το "σάπια λύση" δεν το δέχομαι για καμία λύση που δίνει σωστό αποτέλεσμα), σκέφτηκα το εξής στα σχολικά πλαίσια Β΄Λυκείου. Προς συζήτηση όμως για την ορθότητα της αντιμετώπισης.

(a+1)x^2 + (a+b)y^2 -abxy - 2x = 0 (1)

θέλουμε να είναι κύκλος. Γνωρίζουμε όμως ότι όλοι οι κύκλοι έχουν εξίσωση της μορφής:
x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0

με την κατάλληλη συνθήκη.

Λέω τώρα (επιδέχεται αμφισβήτηση ίσως) :
Συγκρίνοντας τις δύο εξισώσεις ο παράγοντας xy δεν πρέπει να υπάρχει οπότε
είτε a=0

είτε

.
Αν

και $b \neq 0$ η (1) γίνεται :
$x^2 + by^2 - 2x = 0 \Rightarrow \newline (x-1)^2 + by^2 = 1 \Rightarrow \newline (x-1)^2 + \frac{y^2}{\frac{1}{b}} = 1 \Rightarrow \newline$
Η οποία εξίσωση παριστάνει έλλειψη που γίνεται κύκλος μόνο αν
$1=\frac{1}{b} \Rightarrow b=1$

Κάπως παρόμοια το δουλεύω και για b=0 στο πρόχειρό μου, αλλά θα το γράψω, αν φανεί σωστή η παραπάνω εκδοχή.

#12

Επειδή η προηγούμενη απάντηση που έδωσα, όπως είπα, δεν μου άρεσε γράφω μία ακόμη:
Ας πούμε ότι η
$\left( a+1\right) x^{2}+\left( a+b\right) y^{2}-abxy-2x=0\,\,\,(1)$
παριστάνει κύκλο. Εύκολα βλέπουμε ότι θα πρέπει να διέρχεται από το O(0,0)

. Βλέπουμε εύκολα ότι αν a+b=0

η εξίσωση παριστάνει ευθείες και όχι κύκλο. Θα είναι λοιπόν $a+b\neq 0$ . Αυτό όμως συνεπάγεται ότι ο κύκλος δεν έχει άλλο κοινό σημείο με τον y'y

. 'Αρα αφενός θα εφάπτεται στον y'y

και αφ΄ετέρου θα τέμνει σε άλλο ένα σημείο τον x'x

. Αναγκαστικά $a+1\neq 0$ και το σημείο είναι το $M\left( \frac{2}{a+1},0\right)$ . H

είναι διάμετρος και το $K\left( \frac{1}{a+1},0\right)$ θα είναι το κέντρο του. Άρα η εξίσωση του θα είναι η $\left( x-\frac{1}{a+1}\right) ^{2}+y^{2}=\left( \frac{1}{a+1}\right) ^{2}$
ή ισοδύναμα η
$\left( a+1\right) x^{2}+\left( a+1\right) y^{2}-2x=0\,\,\,(2)$
Αφαιρώντας τις (1) και (2) βρίσκουμε ότι κάθε σημείο του κύκλο πρέπει να ικανοποιεί την
$\left( b-1\right) y^{2}-abxy=0\,\,\, (3)$
δηλαδή την
$\left( \left( b-1\right) y-abx\right) y=0\,\,\,(4)$
που παριστάνει δύο ευθείες (άτοπο) εκτός αν b=1,a=0

που είναι και η μοναδική δυνατότητα. Για αυτές τις τιμές έχουμε πράγματι κύκλο τον $x^{2}+y^{2}-2x=0$ .
Μαυρογιάννης

απορια-ασκηση κυκλου

απορια-ασκηση κυκλου

Re: απορια-ασκηση κυκλου

Re: απορια-ασκηση κυκλου

Re: απορια-ασκηση κυκλου

Re: απορια-ασκηση κυκλου

Re: απορια-ασκηση κυκλου

Re: απορια-ασκηση κυκλου

Re: απορια-ασκηση κυκλου

Re: απορια-ασκηση κυκλου

Re: απορια-ασκηση κυκλου

Re: απορια-ασκηση κυκλου

Re: απορια-ασκηση κυκλου

Μέλη σε σύνδεση