Αντέχει στον ... Κρόνο

KARKAR · #1

: Αντέχει στον Κρόνο.png (19.74 KiB) Προβλήθηκε 1007 φορές

H

είναι κινητή χορδή του κύκλου x^2+y^2=r^2

, με σταθερή όμως κλίση $\lambda=\sqrt{2}+1$

Σχεδιάζουμε το ορθογώνιο και ισοσκελές CAB

. Βρείτε το γεωμετρικό τόπο της κορυφής

.

Σημείωση αργότερα : Πειραματιστείτε στην έλλειψη με εξίσωση : $\dfrac{x^2}{(r(\sqrt{2}+1))^2}+\dfrac{y^2}{(r(\sqrt{2}-1))^2}=1$

#2

Για...διασκέδαση!!!

Επαναφορά!!

Tolaso J Kos · #3

Επαναφορά.

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 18, 2016 10:25 am
H είναι κινητή χορδή του κύκλου , με σταθερή όμως κλίση $\lambda=\sqrt{2}+1$

Σχεδιάζουμε το ορθογώνιο και ισοσκελές . Βρείτε το γεωμετρικό τόπο της κορυφής .

Σημείωση αργότερα : Πειραματιστείτε στην έλλειψη με εξίσωση : $\dfrac{x^2}{(r(\sqrt{2}+1))^2}+\dfrac{y^2}{(r(\sqrt{2}-1))^2}=1$

Θανάση καλησπέρα...

Αναρτώ μια λύση της άσκησης αυτής και κάποιες προεκτάσεις...

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα:

: Κρόνος 1.png (39.16 KiB) Προβλήθηκε 238 φορές

Στο ανωτέρω σχήμα θεωρήθηκε για απλούστερη μελέτη ότι η ακτίνα του δοθέντος κύκλου

είναι η μονάδα.

Ακόμα εύκολα διαπιστώνεται τριγωνομετρικά ότι είναι:

$\displaystyle{tan(\frac{3\pi}{8})=1+\sqrt{2} \ \ (1) }$

Έτσι όπως φαίνονται και στο σχήμα οι συντεταγμένες των σημείων $\displaystyle{A}$ και $\displaystyle{B}$ αφού είναι

$\displaystyle{AB//OD}$ θα είναι:

$\displaystyle{ A=(cos(\frac{7\pi}{8}-u), sin(\frac{7\pi}{8}-u)) \ \ (2) }$

$\displaystyle{B=(cos(\frac{7\pi}{8}+u), sin(\frac{7\pi}{8}+u)) \ \ (3)}$

Αν τώρα θεωρήσουμε ένα νέο σύστημα αξόνων με αρχή το σημείο $\displaystyle{A}$ και με ομόρροπους άξονες

ως προς το αρχικό τότε οι νέες συντεταγμένες των $\displaystyle{A,B}$ θα είναι:

$\displaystyle{A(0,0)}$

$\displaystyle{B(cos(\frac{7\pi}{8}+u)-cos(\frac{7\pi}{8}-u)},sin( \frac{7\pi}{8}+u)-sin(\frac{7\pi}{8}-u)) \ \ (4) }$

και μετά από εύκολες πράξεις θα είναι:

$\displaystyle{X_B=-2sin(\frac{\pi}{8})sinu, \ \ Y_B=-2cos(\frac{\pi}{8})sinu \ \ (5) }$

Αν τώρα εφαρμόσω στο σημείο $\displaystyle{B}$ τη στροφή με κέντρο το σημείο $\displaystyle{A}$ και με γωνία ίση με $\displaystyle{\frac{\pi}{2} }$ τότε

θα προκύψουν οι συντεταγμένες του σημείου $\displaystyle{C}$ του οποίου ζητούμε το γ. τόπο.

Η στροφή γίνεται σύμφωνα με τον πίνακα στροφής:

$\displaystyle{ T= \begin{bmatrix} cos(90^o)&-sin(90^o) \\sin(90^o)&cos(90^o) \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0&-1\\1&0 \end{bmatrix} \ \ (6) }$

Άρα:

$\displaystyle{ \begin{bmatrix} X_C \\Y_C \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&-1\\1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_B \\Y_B \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -Y_B \\X_B \end{bmatrix} \ \ (7) }$

Δηλαδή θα είνα τελικά:

$\displaystyle{ X_C=2cos(\frac{\pi}{8})sin(u) , \ \ Y_C=-2sin(\frac{\pi}{8})sin(u) \ \ (8) }$

Οι συντεταγμένες τώρα του σημείου $\displaystyle{C}$ ως προς το αρχικό σύστημα θα είναι:

$\displaystyle{x_C=x(A)+X_C=cos(\frac{7\pi}{8}-u)+2cos(\frac{\pi}{8})sin(u) \ \ (9) }$

$\displaystyle{ y_C=y(A)+Y_C=sin(\frac{7\pi}{8}-u)-2sin(\frac{\pi}{8})sin(u) \ \ (10) }$

Οι σχέσεις (9) και (10) μετά από πράξεις δίνουν το σύστημα ως προς αγνώστους $\displaystyle{sin(u), cos(u) }$ :

$\displaystyle{(sin(\frac{\pi}{8})+2cos(\frac{\pi}{8}))sinu-cos(\frac{\pi}{8})cosu=x }$

$\displaystyle{(cos(\frac{\pi}{8})-2sin(\frac{\pi}{8}))sinu+sin(\frac{\pi}{8})cosu=y }$

Λύνοντας το σύστημα αυτό έχουμε :

$\displaystyle{sinu=xsin(\frac{\pi}{8})+ycos(\frac{\pi}{8}) \ \ (11) }$

$\displaystyle{cosu=(sin(\frac{\pi}{8})+2cos(\frac{\pi}{8}))y-(cos(\frac{\pi}{8})-2sin(\frac{\pi}{8}))x \ \ (12) }$

Αν τώρα τις τιμές των (11) και (12) τις αντικαταστήσουμε στην ταυτότητα:

$\displaystyle{sin^2u+cos^2u=1 }$

τότε μετά από πράξεις θα καταλήξουμε στην εξίσωση της γραμμής που διαγράφει το σημείο $\displaystyle{C}$

δηλαδή στην εξίσωση:

$\displaystyle{\frac{x^2}{3+2\sqrt{2}}+\frac{y^2}{3-2\sqrt{2}}=1 \ \ (13) }$

η οποία είναι μια έλλειψη και είνα αυτή που σημειώνεται στην εκφώνηση του προβλήματος αυτού.

Κώστας Δόρτσιος

(Συνεχίζεται...)

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Σεπ 18, 2016 10:25 am
H είναι κινητή χορδή του κύκλου , με σταθερή όμως κλίση $\lambda=\sqrt{2}+1$

Σχεδιάζουμε το ορθογώνιο και ισοσκελές . Βρείτε το γεωμετρικό τόπο της κορυφής .

Σημείωση αργότερα : Πειραματιστείτε στην έλλειψη με εξίσωση : $\dfrac{x^2}{(r(\sqrt{2}+1))^2}+\dfrac{y^2}{(r(\sqrt{2}-1))^2}=1$

Καλησπέρα...

(1η Συνέχεια...)

Αναρτώ το σχήμα όπου φαίνεται ο γ. τόπος του ανωτέρω προβλήματος καθώς και

το δυναμικό σχήμα με την κίνηση του σημείου $\displaystyle{C}$ επί του γ. τόπου.

: Κρόνος 2.png (29.1 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές

Το δυναμικό σχήμα δίνεται στον ακόλουθο σύνδεσμο:

https://www.geogebra.org/m/hf5y6yzs

Σχόλιο πάνω στον τίτλο "Αντέχει ... στον Κρόνο"

Η αναφορά στον πλανήτη της Γης Κρόνο είναι προφανής και με ώθησε

να κάνω το σχήμα στο χώρο..

Αμέσως διατηρώντας τις ίδιες τιμές του προβλήματος προέκυψε το ακόλουθο σχήμα:

: Κρόνος β.png (21.82 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές

Από ό,τι φαίνεται δεν είναι έτσι ο δακτύλιος. Έτσι μείωσα την ακτίνα του Κρόνου

και προέκυψε το ακόλουθο σχήμα:

: Κρόνος γ.png (16.61 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές

Αυτό το σχήμα ανταποκρίνεται πιο καλά στον τίτλο. Όμως επειδή

τα σωματίδια του δακτυλίου περιφέρονται σχεδόν σε κυκλική τροχιά,

(στην πραγματικότητα κινούνται πάντα σε ελλειπτική-1ος Νόμος του Κέπλερ- επειδή

οι αποστάσεις είναι σχετικά μικρές, έκανα ένα άλλο σχήμα πιο "ελεύθερο", σχεδιάζοντας τις τροχιές

αυτές κυκλικές, πιστεύοντας στην καλύτερη αισθητική της εικόνας. Και να το σχήμα:

: Κρόνος α.png (33.85 KiB) Προβλήθηκε 178 φορές

Και στο σχήμα αυτό ο δακτύλιος "φαίνεται" ελλειπτικός λόγω της προβολής αυτου

σε επίπεδο.

Τέλος στον ακόλουθο σύνδεσμο μπορείτε να παίξετε με τον πλανήτη αυτόν

στο ακόλουθο δυναμικό σχήμα:

https://www.geogebra.org/m/bcbphcny

(Συνεχίζεται...)

Κώατας Δόρτσιος

KARKAR · #6

Κώστα , τι να πω , είσαι θησαυρός

Αντέχει στον ... Κρόνο

Αντέχει στον ... Κρόνο

Re: Αντέχει στον ... Κρόνο

Re: Αντέχει στον ... Κρόνο

Re: Αντέχει στον ... Κρόνο

Re: Αντέχει στον ... Κρόνο

Re: Αντέχει στον ... Κρόνο

Μέλη σε σύνδεση