Βασανιστική τριχοτόμηση

KARKAR · #1

: Βασανιστική τριχοτόμηση.png (13.92 KiB) Προβλήθηκε 687 φορές

Θέλουμε να τριχοτομήσουμε την ακτίνα AB=r

, ενός κύκλου (B)

. Εντάξει , γνωρίζετε

τρόπους να το κάνετε αλλά τώρα πρέπει να ελέγξετε τον βασανιστικό που σας προτείνω :

Σχεδιάζουμε μια ορθή γωνία $\hat{O}$ και κάνουμε τον κύκλο εφαπτόμενο των πλευρών της ,

στα σημεία A,S

, όπως φαίνεται στο σχήμα . Φέρουμε την παράλληλη προς την

σε απόσταση $OQ=\dfrac{2r}{5}$ από το

και ονομάζουμε

το υψηλότερο από τα σημεία

τομής της με τον κύκλο . Η εφαπτομένη στο

τέμνει την

στο

.

Αν οι ST,SP

τέμνουν την

στα

, δείξτε ότι : AK=KL=LB

.

#2

KARKAR έγραψε:Βασανιστική τριχοτόμηση.pngΘέλουμε να τριχοτομήσουμε την ακτίνα , ενός κύκλου . Εντάξει , γνωρίζετε τρόπους να το κάνετε αλλά τώρα πρέπει να ελέγξετε τον βασανιστικό που σας προτείνω :
Σχεδιάζουμε μια ορθή γωνία $\hat{O}$ και κάνουμε τον κύκλο εφαπτόμενο των πλευρών της , στα σημεία , όπως φαίνεται στο σχήμα . Φέρουμε την παράλληλη προς την σε απόσταση $OQ=\dfrac{2r}{5}$ από το και ονομάζουμε το υψηλότερο από τα σημεία τομής της με τον κύκλο . Η εφαπτομένη στο τέμνει την στο . Αν οι τέμνουν την στα , δείξτε ότι : .

Ας γίνει το θέλημά σου αγαπητέ Θανάση . Ας «βασανιστούμε!»

$\bullet$ Έστω το σημείο τομής της με την , με το αντιδιαμετρικό του ως προς τον $\left( B,r \right)$ και $M\equiv AC\cap PA$ .

Με $\angle APC={{90}^{0}}$ και εφαπτομενικά τμήματα του $\left( B \right)$ θα είναι το μέσο της $AD \Rightarrow \boxed{TA = \dfrac{{AD}}{2}}:\left( 1 \right)$ και

$PM = \sqrt {AM \cdot MC} = \sqrt {OQ \cdot \left( {2r - OQ} \right)} =$ $\sqrt {\dfrac{{2r}}{5} \cdot \left( {2r - \dfrac{{2r}}{5}} \right)} \Rightarrow \boxed{PM = \dfrac{{4r}}{5}}:\left( 2 \right)$ .

Με $PM\parallel AD \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AC}} = \dfrac{{PM}}{{CM}} \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{2r}} =$ $\dfrac{{\dfrac{{4r}}{5}}}{{2r - \dfrac{{2r}}{5}}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow AD = r \Rightarrow \boxed{TA = \dfrac{r}{2}}:\left( 3 \right)$
[attachment=0]Βασανιστική τριχοτόμηση.png[/attachment]
$\bullet$ Από $AK\parallel OS \Rightarrow \dfrac{{AK}}{{OS}} = \dfrac{{TA}}{{TO}}\mathop = \limits^{\left( 3 \right)} \dfrac{1}{3}\mathop \Rightarrow \limits^{OS = AB = r} \boxed{AK = \dfrac{r}{3}}:\left( 4 \right)$ , $PQ = PM + MQ\mathop = \limits^{\left( 2 \right)} \dfrac{{4r}}{5} + r \Rightarrow \boxed{PQ = \dfrac{{9r}}{5}}:\left( 5 \right)$

και $QS = OS - OQ = r - \dfrac{{2r}}{5} \Rightarrow \boxed{QS = \dfrac{{3r}}{5}}:\left( 6 \right)$ . Από $\left( 5 \right),\left( 6 \right) \Rightarrow \boxed{\dfrac{{QS}}{{PQ}} = \dfrac{1}{3}}:\left( 7 \right)$ .

$\bullet$ Από την προφανή ομοιότητα των ορθογωνίων τριγώνων $\vartriangle BSL,\vartriangle QPS\left( {SB\parallel PQ} \right) \Rightarrow$

$\dfrac{{LB}}{{SB}} = \dfrac{{QS}}{{PQ}}\mathop = \limits^{\left( 7 \right)} \dfrac{1}{3}\mathop \Rightarrow \limits^{QS = r} LB = \dfrac{r}{3}$ $\mathop \Rightarrow \limits^{\left( 4 \right),AB = r} \boxed{AK = KL = KB = \dfrac{r}{3}}$ και η «βασανιστική» τριχοτόμηση έχει επιτευχθεί.

Στάθης

Βασανιστική τριχοτόμηση

Βασανιστική τριχοτόμηση

Re: Βασανιστική τριχοτόμηση

Μέλη σε σύνδεση