Στενή επαφή

#1

Δίδονται οι κύκλοι:

$\left\{ \begin{gathered} {C_1}:\,\,{x^2} + {(y + 3)^2} = {k^2},\,\,k \ne 0 \hfill \\ {C_2}:\,\,{(x - 4)^2} + {y^2} = {(k - 5)^2}\,,\,\,k \ne 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και ή ευθεία :

$\varepsilon \,\,:4x + 3y = 5k - 9\,\,,\,\,k \ne 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,k \ne 5$ .

Δείξετε ότι οι κύκλοι εφάπτονται στην ευθεία και μεταξύ τους για κάθε

$k \ne 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,k \ne 5$

#2

Doloros έγραψε:Δίδονται οι κύκλοι:

$\left\{ \begin{gathered} {C_1}:\,\,{x^2} + {(y + 3)^2} = {k^2},\,\,k \ne 0 \hfill \\ {C_2}:\,\,{(x - 4)^2} + {y^2} = {(k - 5)^2}\,,\,\,k \ne 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και ή ευθεία :

$\varepsilon \,\,:4x + 3y = 5k - 9\,\,,\,\,k \ne 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,k \ne 5$ .

Δείξετε ότι οι κύκλοι εφάπτονται στην ευθεία και μεταξύ τους για κάθε

$k \ne 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,k \ne 5$

Έστω

οι κύκλοι

αντίστοιχα και d_1, d_2

οι αποστάσεις των κέντρων τους από την ευθεία $\varepsilon.$

● $\displaystyle{{d_1} = \frac{{|4 \cdot 0 + 3( - 3) - 5k + 9|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{5|k|}}{5} = |k| = {r_1}}$ και ομοίως βρίσκω $\displaystyle{{d_2} = |k - 5| = {r_2}}$

Άρα οι κύκλοι εφάπτονται στην ευθεία.

● Εύκολα βρίσκω $\displaystyle{{O_1}{O_2} = 5}$
1) Αν k<0

, $\displaystyle{{r_2} - {r_1} = |k - 5| - |k| = - k + 5 + k = 5 = {O_1}{O_2}}$ , άρα οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά.

2) Αν 0<k<5

, $\displaystyle{{r_1} + {r_2} = |k| + |k - 5| = k - k + 5 = 5 = {O_1}{O_2}}$ , άρα οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά.

3) Αν k>5

, $\displaystyle{{r_1} - {r_2} = |k| - |k - 5| = k - k + 5 = 5 = {O_1}{O_2}}$ , άρα οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά.

Για κάθε $k\ne 0$ και $k\ne 5$ λοιπόν, οι κύκλοι εφάπτονται μεταξύ τους.

Στενή επαφή

Στενή επαφή

Re: Στενή επαφή

Μέλη σε σύνδεση