Επαναληπτική Κωνικές Τομές

Χρήστος Λαζαρίδης · #1

Μία σχετικά εύκολη άσκηση,για μαθητές.
Έστω τα σημεία Α(-1,y) και B(2x,y), όπου x,y πραγματικοί αριθμοί, του καρτεσιανού επιπέδου Οχψ.
α) Αν είναι $\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} \bot \overrightarrow {{\rm O}B}$ , να αποδείξετε ότι τα σημεία M(x,y) ανήκουν σε μία παραβολή C, της οποίας να υπολογίσετε την εστία και την διευθετούσα.
β) Αν είναι $3{\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} ^2} + {\overrightarrow {{\rm O}B} ^2} = 15$ ,να αποδείξετε ότι τα σημεία M(x,y) ανήκουν σε έναν κύκλο C΄, του οποίου,να υπολογίσετε το κέντρο και την ακτίνα.
γ) Να αποδείξετε ότι:
i) Τα κοινά σημεία των C,C΄είναι ${\rm K}(1,\sqrt 2 ),\Lambda (1, - \sqrt 2 )$ .
ii) Η εφαπτομένη της C στο Κ είναι παράλληλη προς την εφαπτομένη του C΄στο Λ.

#2

Ας δώσουμε σιγά- σιγά λύσεις σε ξεχασμένα θιέματα, (για όσους από τους μαθητές κάτι δεν έχουν καταλάβει)
(α) Έχουμε
$\vec{OA}.\vec{OB}=0\Leftrightarrow -2x+y^{2}=0\Leftrightarrow y^{2}=2x$
Άρα τα σημεία Μ ανήκουν σε παραβολή με εστία Ε(1/2,0) και διευθετούσα χ=-1/2

(β) $3.\vec{OA}^{2}+\vec{OB}^{2}=15\Leftrightarrow 3(1+y^{2})+4x^{2}+y^{2}=15\Leftrightarrow 4x^{2}+4y^{2}=12\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=3$

Άρα τα σημεία Μ ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα $\sqrt{3}$

(γ) Λύνοντας το σύστημα

$x^{2}+y^{2}=3,y^{2}=2x$
βρίσκουμε χ=1,y= $\sqrt{2}$
και x=1 ή y=- $\sqrt{2}$

Η εφαπτομένη της C στο Κ είναι
$\sqrt{2}y=x+1$
και η εφαπτομένη της C΄ στο Λ είναι
$x-\sqrt{2}.y=3\Leftrightarrow \sqrt{2}.y=x-3$

Και αφού οι δύο ευθείες έχουν ίσους τους συντελεστές διεύθυνσης ( $\sqrt{2}/2)$ άρα είναι παράλληλες.

Επαναληπτική Κωνικές Τομές

Επαναληπτική Κωνικές Τομές

Re: Επαναληπτική Κωνικές Τομές

Μέλη σε σύνδεση