Ωραίο Θέμα στην έλλειψη

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται η έλλειψη : $\frac{x^2}{k+1} + \frac{y^2}{2k-3} = 1$ με εστίες στον άξονα χ΄χ.
α) Να βρεθούν οι δυνατές τιμές του k.
β) Για ποιες τιμές του k η ελλειψη είναι όμοια με την $\frac{x^2}{9}+ \frac{y^2}{4}=1$ ;
γ) Για τη μικρότερη ακέραια τιμή του k να βρθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της έλλειψης η οποία είναι παράλληλη στην ευθεία y=-x

.

Χρήστος Λαζαρίδης · #2

Ωραία άσκηση!
α) κ+1 > 2κ-3, κ+1 > 0 και 2κ-3 > 0.
Συναληθεύουν για $\frac{3}{2}<\kappa <4$
β) Οι λόγοι β/α, πρέπει να είναι ίσοι, άρα: $\frac{2\kappa -3}{\kappa +1}= \frac{2}{3}\Leftrightarrow \kappa =\frac{11}{4}$
γ) Η μικρότερη ακέραια τιμή του κ είναι κ = 2.
Έστω ε: y = -x+m, η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης. Το σύστημα των εξισώσεων έλλειψης και ευθείας έχει μοναδική λύση.

Φιλικά Χρήστος

#3

Σωτήρη
Να κάνουμε μία παραλλαγή στην άσκηση;

Δίνεται η εξίσωση : $\frac{x^2}{\kappa +1}+\frac{\psi ^2}{2\kappa-3}=1$ (1)
Για τις διάφορες τιμές του κ $\neq-1,\frac{3}{2}$ να βρεθεί το είδος της κωνικής που παριστάνει η εξίσωση (1)

Χρήστος

#4

Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε: γ) Η μικρότερη ακέραια τιμή του κ είναι κ = 2.
Έστω ε: y = -x+m, η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης. Το σύστημα των εξισώσεων έλλειψης και ευθείας έχει μοναδική λύση.

Φιλικά Χρήστος

Χρήστο,γιατί...μοναδική λύση;;

για κ=2 $\longrightarrow C:\frac{x^2}{3}+y^2=1$

αν M(x_1,y_1)

το σημείο επαφής ,η εφαπτομένη έχει εξίσωση :xx_1+3yy_1=3

και αφού είναι παράλληλη στην y=-x

παίρνουμε ότι x_1=3y_1

το Μ ανήκει στην έλλειψη άρα ....... $M(\frac{3}{2},\frac{1}{2})\rightarrow \epsilon:x+y=2,\,\,\ ,M'(\frac{-3}{2},\frac{-1}{2})\rightarrow \epsilon:x+y=-2,$

Χρήστος Λαζαρίδης · #5

Φωτεινή έγραψε:
Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε: γ) Η μικρότερη ακέραια τιμή του κ είναι κ = 2.
Έστω ε: y = -x+m, η εξίσωση της ζητούμενης εφαπτομένης. Το σύστημα των εξισώσεων έλλειψης και ευθείας έχει μοναδική λύση.

Φιλικά Χρήστος
Χρήστο,γιατί...μοναδική λύση;;

για κ=2 $\longrightarrow C:\frac{x^2}{3}+y^2=1$

αν το σημείο επαφής ,η εφαπτομένη έχει εξίσωση και αφού είναι παράλληλη στην παίρνουμε ότι

το Μ ανήκει στην έλλειψη άρα ....... $M(\frac{3}{2},\frac{1}{2})\rightarrow \epsilon:x+y=2,\,\,\ ,M'(\frac{-3}{2},\frac{-1}{2})\rightarrow \epsilon:x+y=-2,$

Φωτεινή
Η διατύπωση μου ήταν χάλια.
Εννοούσα ότι η δευτεροβάθμια, που προκύπτει από την επίλυση του του συστήματος, πρέπει να έχει μοναδική λύση, άρα Δ = 0.
Ασφαλώς και δεν είναι μοναδική η λύση!
Φιλικά Χρήστος

Ιστοσελίδα · #6

Ωραίες οι ευρύτερες διερευνήσεις...

Ωραίο Θέμα στην έλλειψη

Ωραίο Θέμα στην έλλειψη

Re: Ωραίο Θέμα στην έλλειψη

Re: Ωραίο Θέμα στην έλλειψη

Re: Ωραίο Θέμα στην έλλειψη

Re: Ωραίο Θέμα στην έλλειψη

Re: Ωραίο Θέμα στην έλλειψη

Μέλη σε σύνδεση