Δύσκολο σημείο

Συντονιστής: Τηλέγραφος Κώστας

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8715
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δύσκολο σημείο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #1 από KARKAR » Δευ Ιουν 19, 2017 10:18 am

Δύσκολο  σημείο.png
Δύσκολο σημείο.png (13.73 KiB) Προβλήθηκε 306 φορές
Από σημείο S της προέκτασης της διαμέτρου AB του κύκλου : x^2+y^2=16

να αχθεί τέμνουσα SDC , διερχόμενη από το σημείο P(0,3) , έτσι ώστε

οι εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία C,D να είναι κάθετες μεταξύ τους .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5043
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δύσκολο σημείο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #2 από Doloros » Δευ Ιουν 19, 2017 12:35 pm

Δύσκολο σημείο.png
Δύσκολο σημείο.png (29.91 KiB) Προβλήθηκε 269 φορές


Αν T(a,b) η τέμνουσα \overline {SDC} είναι η πολική του ως προς τον κύκλο και θα έχει

εξίσωση : ax + by = 16 . Αλλά αφού διέρχεται από το P(0,3) θα επαληθεύεται απ’

αυτό και έτσι 3b = 16 \Rightarrow \boxed{b = \frac{{16}}{3}} . Αφού όμως το τετράπλευρο OCTD είναι

τετράγωνο θα ισχύει : {a^2} + {b^2} = {(4\sqrt 2 )^2} \Rightarrow \boxed{a =  \pm \frac{{4\sqrt 2 }}{3}} έχουμε συνεπώς δύο

τέμνουσες με εξισώσεις : \boxed{ \pm \sqrt 2 x + 4y = 12}


Δύσκολο σημείο_new.png
Δύσκολο σημείο_new.png (41.06 KiB) Προβλήθηκε 257 φορές


Και η γεωμετρική κατασκευή

Στο κύκλο (O,2\sqrt 2 ) φέρνω τις εφαπτόμενες από το P.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8715
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Δύσκολο σημείο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #3 από KARKAR » Δευ Ιουν 19, 2017 8:11 pm

Ο πολύπειρος κρητικός μας προσέφερε μια κατασκευή του σημείου S .

Επιθυμία του θεματοδότη είναι η εύρεση της τετμημένης του σημείου S .


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5043
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δύσκολο σημείο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #4 από Doloros » Δευ Ιουν 19, 2017 8:16 pm

KARKAR έγραψε:Ο πολύπειρος κρητικός μας προσέφερε μια κατασκευή του σημείου S .

Επιθυμία του θεματοδότη είναι η εύρεση της τετμημένης του σημείου S .



Μα προφανώς από την εξίσωση \boxed{ \pm \sqrt 2 x + 4y = 12} έχω \boxed{{x_S} =  \pm 6\sqrt 2 }



Με Ευκλείδεια Γεωμετρία, αργότερα θα ψάξω ( ή θα με προλάβουν) γιατί τώρα κωλύομαι.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5624
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δύσκολο σημείο

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #5 από george visvikis » Σάβ Ιουν 24, 2017 10:38 am

KARKAR έγραψε:Δύσκολο σημείο.png Από σημείο S της προέκτασης της διαμέτρου AB του κύκλου : x^2+y^2=16

να αχθεί τέμνουσα SDC , διερχόμενη από το σημείο P(0,3) , έτσι ώστε

οι εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία C,D να είναι κάθετες μεταξύ τους .


Με Ευκλείδεια.
Δύσκολο σημείο.png
Δύσκολο σημείο.png (16.83 KiB) Προβλήθηκε 165 φορές

Το ODTC είναι τετράγωνο, οπότε CD=4\sqrt 2. Είναι ακόμα \displaystyle{CP \cdot PD = {R^2} - P{O^2} = 7} κι επειδή

CP+PD=4\sqrt 2, θα είναι CP=2\sqrt 2-1, PD=2\sqrt 2+1. Από νόμο συνημιτόνων τώρα στο POD

βρίσκω \displaystyle{\cos \theta  = \frac{1}{3} \Leftrightarrow \frac{3}{{PS}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow } \boxed{PS=9} και με Πυθαγόρειο στο POS παίρνω την τετμημένη του S,

\boxed{x=OS=6\sqrt 2} (Θεωρώ ότι το S βρίσκεται στην προέκταση του AB προς το μέρος του B).



Επιστροφή σε “ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης