Βελτιωμένος τόπος

KARKAR · #1

: Βελτιωμένος τόπος.png (14.54 KiB) Προβλήθηκε 712 φορές

Στην έλλειψη $\dfrac{x^2}{4a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1$ , φέραμε τις εφαπτόμενες στα άκρα A,B

του μικρού άξονα .

Η εφαπτομένη της έλλειψης σε κινητό της σημείο

τέμνει τις παραπάνω ευθείες στα D,C

.

α) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής

των

.

β) ( Προαιρετικό ) Θα λέγατε το ίδιο για οποιαδήποτε έλλειψη ;

#2

KARKAR έγραψε:Βελτιωμένος τόπος.pngΣτην έλλειψη $\dfrac{x^2}{4a^2}+\dfrac{y^2}{a^2}=1$ , φέραμε τις εφαπτόμενες στα άκρα του μικρού άξονα .

Η εφαπτομένη της έλλειψης σε κινητό της σημείο τέμνει τις παραπάνω ευθείες στα .

α) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου τομής των .

: Βελτιωμένος τόπος.png (21.98 KiB) Προβλήθηκε 701 φορές

Γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος (O,a)

Αρκεί να δείξω ότι $\displaystyle{AC \bot BD}.$ Έστω P(x_1,y_1)

το σημείο επαφής. Η εξίσωση της εφαπτομένης είναι:

$\displaystyle{\frac{{x{x_1}}}{{4{a^2}}} + \frac{{y{y_1}}}{{{a^2}}} = 1}$ και τέμνει τις ευθείες y=-a, y=a

στα σημεία $\displaystyle{C\left( {\frac{{4{a^2} + 4a{y_1}}}{{{x_1}}}, - a} \right),D\left( {\frac{{4{a^2} - 4a{y_1}}}{{{x_1}}},a} \right)}$ αντίστοιχα.

Εύκολα τώρα βρίσκουμε ότι $\boxed{{\lambda _{AC}} \cdot {\lambda _{BD}} = - 1}$

#3

KARKAR έγραψε: β) ( Προαιρετικό ) Θα λέγατε το ίδιο για οποιαδήποτε έλλειψη ;

Ας εξετάσουμε λοιπόν το γενικότερο πρόβλημα για έλλειψη με εξίσωση $\displaystyle{\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1}$

: Βελτιωμένος τόπος.β.png (23.88 KiB) Προβλήθηκε 662 φορές

Τα σημεία τομής της εφαπτομένης $\displaystyle{\frac{{x{x_1}}}{{{a^2}}} + \frac{{y{y_1}}}{{{b^2}}} = 1}$ με τις ευθείες y=-b, y=b

είναι αντίστοιχα

$\displaystyle{C\left( {\frac{{{a^2}(b + {y_1})}}{{b{x_1}}}, - b} \right),D\left( {\frac{{{a^2}(b - {y_1})}}{{b{x_1}}},b} \right)}.$ Έχουμε λοιπόν τις παρακάτω εξισώσεις ευθειών:

$\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} AC:y - b = - \dfrac{{2{b^2}{x_1}}}{{a(b + {y_1})}}x\\ BD:y + b = - \dfrac{{2{b^2}{x_1}}}{{a(b - {y_1})}}x \end{array} \right.}$ και το σημείο τομής τους είναι $\boxed{S\left( {\frac{{{a^2}({b^2} - {y_1}^2)}}{{2{b^2}{x_1}}},{y_1}} \right)}$

Επειδή τώρα το σημείο P(x_1, y_1)

επαληθεύει την εξίσωση της αρχικής έλλειψης, με απαλοιφή βρίσκουμε ότι

ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι έλλειψη με εξίσωση $\boxed{\dfrac{{{x^2}}}{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1}$

Ίσως η παρατήρηση ότι απλουστεύει τη λύση του προβλήματος.

Βελτιωμένος τόπος

Βελτιωμένος τόπος

Re: Βελτιωμένος τόπος

Re: Βελτιωμένος τόπος

Μέλη σε σύνδεση