Σελίδα 1 από 1

Κατασκευή ισοπλεύρου 3

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 15, 2017 12:55 pm
από KARKAR
Κατασκευή  ισοπλεύρου.png
Κατασκευή ισοπλεύρου.png (11.07 KiB) Προβλήθηκε 682 φορές
Με μια κορυφή το S(2,4) και τις άλλες δύο P και Q σημεία του κύκλου x^2+y^2=25

κατασκευάστε το ισόπλευρο τρίγωνο SPQ και υπολογίστε την τετμημένη της κορυφής P .

Re: Κατασκευή ισοπλεύρου 3

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Ιούλ 15, 2017 2:21 pm
από george visvikis
Κατασκευή: Από το S φέρνω δύο ημιευθείες που τέμνουν τον κύκλο στα P, Q, ώστε O\widehat SP=O\widehat SQ=30^0 όπως φαίνεται στο σχήμα. Το SPQ είναι το ζητούμενο ισόπλευρο τρίγωνο. Πράγματι τα αμβλυγώνια τρίγωνα OSP, OSQ είναι προφανώς ίσα (έμμεσο κριτήριο), οπότε το SPQ είναι ισοσκελές κι επειδή έχει μία γωνία 60^0, θα είναι ισόπλευρο.
Κατασκευή  ισοπλεύρου 3.png
Κατασκευή ισοπλεύρου 3.png (14.11 KiB) Προβλήθηκε 668 φορές
\displaystyle{OS = 2\sqrt 5 } και με νόμο ημιτόνων στο SOP βρίσκω SP=\sqrt{15}+2\sqrt 5. Έστω P(x,y). Τότε:

\displaystyle{\left\{ \begin{array}{l} 
{(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} = 35 + 4\sqrt {75} \\ 
{x^2} + {y^2} = 25,x > 0 
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 
2x + 4y = 5 - 10\sqrt 3 \\ 
{x^2} + {y^2} = 25,x > 0 
\end{array} \right. \Rightarrow } \boxed{x=\dfrac{5}{2}}

Re: Κατασκευή ισοπλεύρου 3

Δημοσιεύτηκε: Τρί Ιούλ 18, 2017 1:03 am
από nsmavrogiannis
Η κατασκευή μπορεί να γίνει και αν περιστρέψουμε τον δοθέντα κύκλο γύρω απο το S κατά 60^{\circ } μια φορά κατά την θετική φορά και μια κατά την αρνητική. Οι δύο κύκλοι που προκύπτουν από την περιστροφή τέμνουν τον αρχικό σε 4 σημεία που μας δίνουν δύο ισόπλευρα τρίγωνα με κορυφή το S.