Κανένα πρόβλημα. Ίσα ίσα να χαίρεσαι γιατί το έκανες ανεξάρτητα. Ο ίδιος πάντως χάρηκα που διάβασα την λύση σου γιατί είναι μάλλον δύσκολο θέμα, και σίγουρα ενθουσιάζομαι όταν η νεολαία μας ασχολείται με προκλητικά Μαθηματικά.Διονύσιος Αδαμόπουλος έγραψε: Ουπς ! Δεν το είχα προσέξει !
Τρίγωνο από 3 σημεία
Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
Λέξεις Κλειδιά:
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
Άσκηση 14
Να κατασκευαστεί τρίγωνο του οποίου δίνεται η κορυφή το αντιδιαμετρικό της ,
στον περίκυκλο του τριγώνου και το ίχνος της διχοτόμου . ( Σήμερα για μαθητές ! )
Να κατασκευαστεί τρίγωνο του οποίου δίνεται η κορυφή το αντιδιαμετρικό της ,
στον περίκυκλο του τριγώνου και το ίχνος της διχοτόμου . ( Σήμερα για μαθητές ! )
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
Το μέσο του είναι το κέντρο του κύκλου .KARKAR έγραψε:Άσκηση 14
Να κατασκευαστεί τρίγωνο του οποίου δίνεται η κορυφή το αντιδιαμετρικό της ,
στον περίκυκλο του τριγώνου και το ίχνος της διχοτόμου . ( Σήμερα για μαθητές ! )
Προεκτείνουμε την και εκεί που ο κύκλος την τέμνει είναι ο Νότιος Πόλος , έστω .
Φέρνουμε κάθετη από το στην που τέμνει τον κύκλο στα .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
- Διονύσιος Αδαμόπουλος
- Δημοσιεύσεις: 807
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 19, 2016 5:11 pm
- Τοποθεσία: Πύργος Ηλείας
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
Λίγο πιο διαφορετικά από τον Ορέστη που βλέπω πως με πρόλαβε για λίγα δευτερόλεπτα:KARKAR έγραψε:Άσκηση 14
14.pngΝα κατασκευαστεί τρίγωνο του οποίου δίνεται η κορυφή το αντιδιαμετρικό της ,
στον περίκυκλο του τριγώνου και το ίχνος της διχοτόμου . ( Σήμερα για μαθητές ! )
Φέρνουμε τον κύκλο διαμέτρου . Αυτός προφανώς θα είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος του και έστω το περίκεντρο του.
Ακόμη έστω το ίχνος του ύψους από την κορυφή στην . Γνωρίζουμε πως η είναι ισογώνια με την , δηλαδή είναι συμμετρικές ως προς την διχοτόμο .
Αφού η ταυτίζεται με την , έχουμε πως η είναι συμμετρική της ως προς την διχοτόμο, άρα μπορούμε να την προσδιορίσουμε (ως ευθεία).
Ξέρουμε ακόμη πως η περνάει από το και είναι κάθετη στην , επομένως μπορούμε να την κατασκευάσουμε (ευθεία που διέρχεται από προσδιορισμένο σημείο και είναι κάθετη σε προσδιορισμένη ευθεία).
Επομένως προσδιορίζουμε την και εκεί που η τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο του είναι τα .
Houston, we have a problem!
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
Άσκηση 15
Έστω οι ευθείες που συντρέχουν και σημείο της .
Να κατασκευαστεί τρίγωνο ώστε το να είναι το μέσο της και οι οι μεσοκάθετοι των πλευρών του.
Έστω οι ευθείες που συντρέχουν και σημείο της .
Να κατασκευαστεί τρίγωνο ώστε το να είναι το μέσο της και οι οι μεσοκάθετοι των πλευρών του.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
Άσκηση 16
Να κατασκευασθεί το ορθογώνιο στο , τρίγωνο , αν εκτός του
δίνονται το ίχνος της διχοτόμου και το μέσο της πλευράς .
δίνονται το ίχνος της διχοτόμου και το μέσο της πλευράς .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
Το το προσδιορίζουμε από την διπλάσια απόσταση . H κορυφή βρίσκεται στην κάθετο της στο καθώς και στον κύκλο του Απολλωνίου των σημείων που έχουν την ιδιότητα σταθερό .KARKAR έγραψε:Άσκηση 16
Να κατασκευασθεί το ορθογώνιο στο , τρίγωνο , αν εκτός του
δίνονται το ίχνος της διχοτόμου και το μέσο της πλευράς .
Άλλος τρόπος για το : Αν , η ιδιότητα της διχοτόμου δίνει , άρα
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
Αν το σημείο είναι μέσο της υποτείνουσας (εκφώνηση, και όχι της όπως φαίνεται στο σχήμα), η κατασκευή του τριγώνου είναι ακόμα πιο εύκολη.KARKAR έγραψε:Άσκηση 16
Συνευθειακά.pngΝα κατασκευασθεί το ορθογώνιο στο , τρίγωνο , αν εκτός του
δίνονται το ίχνος της διχοτόμου και το μέσο της πλευράς .
Γράφουμε τον κύκλο . Η ευθεία τον τέμνει στο και η ευθεία στο .
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
KARKAR έγραψε:Άσκηση 16
Συνευθειακά.pngΝα κατασκευασθεί το ορθογώνιο στο , τρίγωνο , αν εκτός του
δίνονται το ίχνος της διχοτόμου και το μέσο της πλευράς .
[attachment=0]Απο τρία σημεία άσκηση 16_ α τρόπος.png[/attachment]
Θεωρώ τα συμμετρικά του ως προς τα αντίστοιχα .
Φέρνω την κάθετη, ευθεία , στο επί την και το ημικύκλιο διαμέτρου .
Η εφαπτομένη του ημικυκλίου από το , τέμνει τη στο .
- Συνημμένα
-
- Απο τρία σημεία άσκηση 16_ α τρόπος.png (12.4 KiB) Προβλήθηκε 916 φορές
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
Έχουμε δει την κατασκευή από τα . O πειρασμός είναι να ρωτήσει κανείς και την κατασκευή από τα και την αδελφή της . Σχολιάζω (εκτός φακέλου) ότι οι κατασκευές αυτές αποδεικνύονται ανέφεικτες με κανόνα και διαβήτη. Άρα τις αφήνουμε έξω αλλά ας δούμε τώρα την
Άσκηση 17 Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία .
Άσκηση 17 Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία .
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
KARKAR έγραψε:Άσκηση 16
Συνευθειακά.png Να κατασκευασθεί το ορθογώνιο στο , τρίγωνο , αν εκτός του
δίνονται το ίχνος της διχοτόμου και το μέσο της πλευράς .
Ένας αλλοπρόσαλλος τρόπος
Μόνο την κατασκευή , την απόδειξη την αφήνω σαν άσκηση πρωταρχικά στους μαθητές μας.
[attachment=0]Απο τρία σημεία άσκηση 16_ β τρόπος.png[/attachment]
Φέρνω τις κάθετες στην στα . Έστω δε το συμμετρικό
του ως προς το . Στη θεωρώ σημείο με . Η κάθετη στο επί
την τέμνει την ευθεία στο . Γράφω προς το ίδιο ημιεπίπεδο με το
ημικύκλιο διαμέτρου . Η προέκταση του προς το τέμνει το ημικύκλιο στο
. Ο κύκλος τέμνει τη σε δύο σημεία . Ας πούμε το ένα . Το
είναι αυτό που θέλουμε .
- Συνημμένα
-
- Απο τρία σημεία άσκηση 16_ β τρόπος.png (25.97 KiB) Προβλήθηκε 912 φορές
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
Άσκηση 18
Να κατασκευασθεί το ορθογώνιο στο , τρίγωνο , αν είναι γνωστά
το έγκεντρο και τα ίχνη των διχοτόμων και αντίστοιχα.
Κι επειδή είμαστε στο φάκελο Μαθηματικά Κατεύθυνσης , ας λύσουμε ένα παράδειγμα :
Είναι : . Δεν γνωρίζουμε αν οι κορυφές ανήκουν στους άξονες
το έγκεντρο και τα ίχνη των διχοτόμων και αντίστοιχα.
Κι επειδή είμαστε στο φάκελο Μαθηματικά Κατεύθυνσης , ας λύσουμε ένα παράδειγμα :
Είναι : . Δεν γνωρίζουμε αν οι κορυφές ανήκουν στους άξονες
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
Από τα σημεία προσδιορίζουμε το περίκεντρο Στη συνέχεια φέρνουμε κάθετη στην στο και ορίζεται η διεύθυνση της Με κέντρο το μέσο του και ακτίνα γράφω τον κύκλο του Euler που τέμνει την εκτός του και στο μέσο της πλευράς Το σημείο τομής των είναι η κορυφή του τριγώνου και ο κύκλος ορίζει πάνω στην τα σημείαMihalis_Lambrou έγραψε:Έχουμε δει την κατασκευή από τα . O πειρασμός είναι να ρωτήσει κανείς και την κατασκευή από τα και την αδελφή της . Σχολιάζω (εκτός φακέλου) ότι οι κατασκευές αυτές αποδεικνύονται ανέφεικτες με κανόνα και διαβήτη. Άρα τις αφήνουμε έξω αλλά ας δούμε τώρα την
Άσκηση 17 Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα σημεία .
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
Δείτε το σχήμα.KARKAR έγραψε:Άσκηση 18
Ίχνη.pngΝα κατασκευασθεί το ορθογώνιο στο , τρίγωνο , αν είναι γνωστά
το έγκεντρο και τα ίχνη των διχοτόμων και αντίστοιχα.
Κι επειδή είμαστε στο φάκελο Μαθηματικά Κατεύθυνσης , ας λύσουμε ένα παράδειγμα :
Είναι : . Δεν γνωρίζουμε αν οι κορυφές ανήκουν στους άξονες
Τα είναι συμμετρικά των ως προς τις . Από τις τομές της με
τις προσδιορίζονται τα . Τα ημικύκλια διαμέτρων
τέμνονται ( αν τέμνονται ή εφάπτονται ) δίδουν το κατάλληλο . Προφανώς βασική
απαίτηση
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Πέμ Ιούλ 20, 2017 9:40 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
Έχουμε δει την κατασκευή από τα σημεία Για να δούμε τώρα την παρακάτω:
Άσκηση 19. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τις κορυφές του και από το μέσο του
Άσκηση 19. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τις κορυφές του και από το μέσο του
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
Επειδή η είναι διχοτόμος, οι γωνίες είναι από . Άρα το είναι η τομή των τόξων που βλέπουν τα υπό γωνία . To είναι στην τομή των και (= διχοτόμος). Όμοια το .KARKAR έγραψε:Άσκηση 18
Να κατασκευασθεί το ορθογώνιο στο , τρίγωνο , αν είναι γνωστά
το έγκεντρο και τα ίχνη των διχοτόμων και αντίστοιχα.
Κι επειδή είμαστε στο φάκελο Μαθηματικά Κατεύθυνσης , ας λύσουμε ένα παράδειγμα :
Είναι : . Δεν γνωρίζουμε αν οι κορυφές ανήκουν στους άξονες
Στο αριθμητικό παράδειγμα, το είναι στον κύκλο διαμέτρου . Απλά βρίσκουμε ότι είναι ο . Παρατηρούμε ότι η αρχή των αξόνων βρίσκεται στον κύκλο αυτό. Δεδομένου ότι το είναι στην διχοτόμο του πρώτου τεταρτημορίου και στην διχοτόμο του , συμπεραίνουμε ότι το είναι στην αρχή των αξόνων. Επίσης, η είναι η (απλό), το είναι εκεί που η ευθεία αυτή τέμνει τον άξονα των τετμημένων. Άρα . Όμοια βρίσκουμε το .
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
Προσδιορίζονται άμεσα , ο κύκλος του τριγώνου ( Από τα ) ο βόρειος πόλος του .Η παράλληλη από το στην με τηνgeorge visvikis έγραψε:Έχουμε δει την κατασκευή από τα σημεία Για να δούμε τώρα την παρακάτω:
Άσκηση 19. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τις κορυφές του και από το μέσο του
να δίδει το παράκεντρο στην πλευρά και μετά το συμμετρικό του ως προς είναι το παράκεντρο στη πλευρά . Έτσι αναγόμαστε στην
άσκηση .
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15763
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
Την άσκηση αυτή την είχα θέσει παραπάνω. Είναι η Άσκηση 13, της οποίας έγραψε λύση ο Ορέστης.george visvikis έγραψε:Έχουμε δει την κατασκευή από τα σημεία Για να δούμε τώρα την παρακάτω:
Άσκηση 19. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τις κορυφές του και από το μέσο του
- george visvikis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 13277
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
Μπερδεύτηκα από το γράμμα χωρίς να διαβάσω τι είναι...Mihalis_Lambrou έγραψε:Την άσκηση αυτή την είχα θέσει παραπάνω. Είναι η Άσκηση 13, της οποίας έγραψε λύση ο Ορέστης.george visvikis έγραψε:Έχουμε δει την κατασκευή από τα σημεία Για να δούμε τώρα την παρακάτω:
Άσκηση 19. Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τις κορυφές του και από το μέσο του
Re: Τρίγωνο από 3 σημεία
Άσκηση 20
Σε τρίγωνο με διχοτόμο , ύψος και διάμεσο δίδονται :
. Να βρείτε τα .
Με την παρατήρηση ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο
Σε τρίγωνο με διχοτόμο , ύψος και διάμεσο δίδονται :
. Να βρείτε τα .
Με την παρατήρηση ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στο
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες