Τρίγωνο από 3 σημεία

Συντονιστής: ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ

Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1043
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #81 από Ορέστης Λιγνός » Κυρ Ιούλ 23, 2017 6:57 pm

george visvikis έγραψε:
3 σημεία-28.png
Άσκηση 28. Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC από τα σημεία M_a, H_c, P_b ( το μέσο της BC, το ίχνος του ύψους από την κορυφή C και το μέσο του BH αντίστοιχα).


ΥΓ. Έβαλα στην άσκηση τον αύξοντα αριθμό 28, γιατί έγινε κάποιο λάθος και υπάρχουν δύο ασκήσεις με τον αριθμό 25. Άρα η αμέσως προηγούμενη του Θανάση είναι η 27 και η πιο πριν του Κώστα η 26. Όποιος έχει πρόσβαση στο φάκελο ας διορθώσει την αρίθμηση.


Γεια σου Γιώργο.

Είναι M_aP_b \parallel CH \Rightarrow AB \perp M_aP_b, και άρα η κάθετη από το H_c στην M_aP_b, έστω (\epsilon) είναι η ευθεία AB.

Είναι εύκολο να διαπιστώσουμε πως M_aH_c=M_aB, οπότε το B προσδιορίζεται ως η τομή του κύκλου (M_a,M_aH_c) με την (\epslilon).

Έστω (\zeta) η ευθεία κάθετη στην (\epsilon) στο H_c(ουσιαστικά πρόκειται για την CH_c).

Ο κύκλος (P_b,P_bB) τέμνει την (\zeta) στο H (το ορθόκεντρο).

Ο κύκλος (M_a,M_aH_c) τέμνει την (\zeta) στο C.

Η κάθετη από το H στην BC τέμνει την (\epsilon) στο A.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4973
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #82 από Doloros » Κυρ Ιούλ 23, 2017 7:10 pm

george visvikis έγραψε:3 σημεία-28.pngΆσκηση 28. Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC από τα σημεία M_a, H_c, P_b ( το μέσο της BC, το ίχνος του ύψους από την κορυφή C και το μέσο του BH αντίστοιχα).


ΥΓ. Έβαλα στην άσκηση τον αύξοντα αριθμό 28, γιατί έγινε κάποιο λάθος και υπάρχουν δύο ασκήσεις με τον αριθμό 25. Άρα η αμέσως προηγούμενη του Θανάση είναι η 27 και η πιο πριν του Κώστα η 26. Όποιος έχει πρόσβαση στο φάκελο ας διορθώσει την αρίθμηση.


Ανάλυση

Απο τρία σημεία άσκηση 28_ok.png
Απο τρία σημεία άσκηση 28_ok.png (34.02 KiB) Προβλήθηκε 77 φορές


Ο κύκλος του Euler για το \vartriangle ABC διέρχεται από τα δεδομένα σημεία {M_a}\,,\,\,{P_b}\,,\,\,{H_C}.

Έστω K το κέντρο αυτού του κύκλου . Το αντιδιαμετρικό {P_a} του {M_a} είναι σημείο

του ύψους από το A του \vartriangle ABC. Αν H το συμμετρικό του {H_C} ως προς τη {P_a}{P_b} ,

τότε το H είναι το ορθόκεντρο του \vartriangle ABC , συνεπώς και το περίκεντρο O του

\vartriangle ABC είναι γνωστό , συμμετρικό του H ως προς το K. Η ακτίνα R = {M_a}{P_a} του

κύκλου (A,B,C) είναι γνωστή και άρα γράφοντας τον κύκλο (O,R) έχουμε πια

απλή κατασκευή.

Φέρνω δια του {H_C} ευθεία παράλληλη στην {P_a}{P_b} που τέμνει τον (O,R) στα B,\,\,C.

Το συμμετρικό του B ως προς το {M_a} είναι το σημείο C.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5545
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #83 από george visvikis » Δευ Ιούλ 24, 2017 5:34 pm

Άσκηση 29. Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC από το περίκεντρο O, το ορθόκεντρο H και το μέσο M_a της BC.


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 8681
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #84 από KARKAR » Δευ Ιούλ 24, 2017 5:51 pm

george visvikis έγραψε:Άσκηση 29. Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC από το περίκεντρο O, το ορθόκεντρο H και το μέσο M_a της BC.

29.png
29.png (17.13 KiB) Προβλήθηκε 30 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4973
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #85 από Doloros » Δευ Ιούλ 24, 2017 6:01 pm

KARKAR έγραψε:
george visvikis έγραψε:Άσκηση 29. Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC από το περίκεντρο O, το ορθόκεντρο H και το μέσο M_a της BC.

29.png


Απο τρία σημεία άσκηση 29.png
Απο τρία σημεία άσκηση 29.png (19.78 KiB) Προβλήθηκε 24 φορές


Φέρνω τη ευθεία a \bot OM στο M και το συμμετρικό T του H ως προς την ευθεία

a. Ο κύκλος (O,OT) τέμνει την ευθεία a στα B,C και την ευθεία HT ακόμα στο

A.

Τη πρωτοαπάντησε ο κ. KARKAR . και μάλιστα ακριβώς με το ίδιο τρόπο !


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1043
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Τρίγωνο από 3 σημεία

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση #86 από Ορέστης Λιγνός » Δευ Ιούλ 24, 2017 7:24 pm

george visvikis έγραψε:Άσκηση 29. Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC από το περίκεντρο O, το ορθόκεντρο H και το μέσο M_a της BC.


Φέρνουμε την ευθεία (\epsilon) παράλληλη από το H στην OM_a.

Το σημείο A προσδιορίζεται ως η τομή του κύκλου (H,2OM_a) με την (\epsilon).

Έστω (\zeta) η ευθεία κάθετη στην OM_a στο M_a.

Ο (O,OA) τέμνει την (\zeta) στα B,C.


Ο καθένας λέει ότι να΄ναι και είναι πάντα σύμφωνος με τον εαυτό του ! 'Ολοι μιλάνε και κανείς δεν ακούει! Ο κόσμος είναι σε νοητική αδράνεια ! Ελένη Γλυκατζή Αρβελέρ

Επιστροφή σε “ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β'”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Google [Bot] και 1 επισκέπτης