Ισοσκελής Υπερβολή

kostas136 · #1

Έστω η ισοσκελής υπερβολή $xy=\frac{a^{2}}{2}$ . Θεωρούμε τα σημεία Α, Β, Γ της υπερβολής που ορίζουν τρίγωνο. Να δειχθεί ότι το ορθόκεντρο του τριγώνου αυτού είναι σημείο της υπερβολής.

#2

Έστω τα μη συνευθειακά σημεία: $\displaystyle{A\left(x_1,\frac{a^2}{2x_1} \right),B\left(x_2,\frac{a^2}2x_2} \right),\Gamma\left(x_3,\frac{a^2}{2x_3} \right)}$ .

Τότε: $\displaystyle{\lambda _{AB}=\frac{-a^2}{2x_1x_2}}$ ,

άρα $\displaystyle{\lambda _{\upsilon _{\gamma }}=\frac{2x_1x_2}{a^2}}$ ,

οπότε $\displaystyle{\upsilon _{\gamma }: y=\frac{2x_1x_2}{a^2}x+\frac{a^4-4x_1x_2x_3^2}{2a^2x_3}}(I)$ .

Επίσης $\displaystyle{\lambda _{A\Gamma}=\frac{-a^2}{2x_1x_3}}$ ,

άρα $\displaystyle{\lambda _{\upsilon _{\beta }}=\frac{2x_1x_3}{a^2}}$ ,

οπότε $\displaystyle{\upsilon _{\beta }: y=\frac{2x_1x_3}{a^2}x+\frac{a^4-4x_1x_2^2x_3}{2a^2x_2}} (II)$ .

Το σύστημα των (Ι) και (ΙΙ) δίνει $\displaystyle{H\left(-\frac{a^4}{4x_1x_2x_3},\frac{-2x_1x_2x_3}{a^2} \right)}$ , το οποίο ανήκει στην υπερβολή.

#3

Ενδιαφέρον θέμα. Λίγο δύσκολες οι παράμετροι για την τάξη...

Γι' αυτό δίνω σε ένα "ανοιχτό" αρχείο Geogebra τη "δυναμική" παρουσίαση της ιδιότητας που έθεσε ο Κώστας και απάντησε ο Λευτέρης.

Μετακινήστε το συντελεστή α ή τα σημεία A, B, C και θα δείτε ότι ότι το βαρύκεντρο G (ή G_1

εκτός τριγώνου) είναι σημείο της υπερβολής.

Γιώργος Ρίζος

spege · #4

και κάτι άλλο γεωμετρικό
Σπύρος

parmenides51 · #5

Ισχύει σε κάθε ισοσκελή υπερβολή όπως φαίνεται εδώ

Ισοσκελής Υπερβολή

Ισοσκελής Υπερβολή

Re: Ισοσκελής Υπερβολή

Re: Ισοσκελής Υπερβολή

Re: Ισοσκελής Υπερβολή

Re: Ισοσκελής Υπερβολή

Μέλη σε σύνδεση