Έλλειψη+Διανύσματα

#1

Δίνεται η έλλειψη C:

$\displaystyle{ \frac{{x^2 }}{{25}} + \frac{{y^2 }}{9} = 1 }$

με εστίες τις Ε' . Ε και τυχαίο σημείο της Μ.

1) Να δείξετε ότι ή παράσταση

$\displaystyle{ \overrightarrow {MO} ^2 - \overrightarrow {ME} \cdot \overrightarrow {ME'} }$

είναι σταθερή.

2) Να εξετάσετε αν υπάρχει σημείο Μ, ώστε

$\displaystyle{ \overrightarrow {ME} \bot \overrightarrow {ME'} }$

chris · #2

1)Είναι $\vec{MO}=\frac{\vec{ME}+\vec{ME'}}{2}\Leftrightarrow \vec{MO}^{2}=\frac{(\vec{ME}+\vec{ME'})^{2}}{4}$
Αρα η δοθείσα γίνεται λαμβάνοντας υπόψη οτι οι εστίες είναι Ε(4,0) και Ε'(-4,0)

$\frac{\vec{ME}^{2}+\vec{ME'}^{2}+2\vec{ME}\cdot \vec{ME'}-4\vec{ME}\cdot \vec{ME'}}{4}=\frac{(\vec{ME}-\vec{ME'})^{2}}{4}=\frac{\vec{E'E}^{2}}{4}=\frac{64}{4}=16$ =σταθερό

2)Εστω Μ(χ,y) άρα πρέπει $\vec{ME}\vec{ME'}=0\Leftrightarrow (4-x,-y)(-4-x,-y)=0\Leftrightarrow x^{2}+y^{2}=16\Leftrightarrow x^{2}=16-y^{2}$

Αντικαθιστώντας στην εξίσωση της έλλειψης όπου και ανήκει το Μ έχουμε:
$\frac{16-y^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1\Leftrightarrow...\Leftrightarrow y=\pm \frac{9}{4}$
άρα το χ είναι $x=\pm \frac{5\sqrt{7}}{4}$ και προκύπτουν τα σημεία $A(\frac{5\sqrt{7}}{4},\frac{9}{4}),B(-\frac{5\sqrt{7}}{4},\frac{9}{4},C(\frac{5\sqrt{7}}{4},-\frac{9}{4}),D(-\frac{5\sqrt{7}}{4},-\frac{9}{4})$

chris · #3

Δεν είμαι σίγουρος αν είναι σωστό γιατί το έκανα γρήγορα.Κοιτάξτε το λίγο.
Ευχαριστώ

#4

Χρήστο μπορείς να μου πείς που δεν είσαι σίγουρος;

Μια χαρά σκέφτεσαι , μια χαρά πράττεις για εμένα.

Έχεις κάποιο σημείο που θεωρείς προβληματικό;

Και αν ναι ποιό, γιατί εγώ δε βρίσκω κάτι πέρα απο ότι δεν επαληθεύεις τις λύσεις.

chris · #5

Απλά επειδή μερικές φορές η βιασύνη σκοτώνει την ορθότητα τόσο του συλλογισμού όσο και της πράξης σκέφτηκα οτι πρέπει να το δείτε και εσείς που θέσατε την άσκηση
.Ευχαριστώ που ασχοληθήκατε πάντως.
Φιλικά Στ. Χρήστος

ΥΓ: Πολλούς Χρηστάδες έχουμε ή μου φαίνεται.

#6

Το είχα δεί απο χτές , αλλά δεν είχα βρεί κάτι για να σου πω, μια χαρά το θεώρησα κατά την ταπεινή μου άποψη πάντα.
Να είσαι σίγουρος πως αν βρώ κάτι θα σου το πώ κατά 99% με Π.Μ για να το διορθώσεις...
Αν αμφιβάλλεις λοιπόν, να κοιτάς που και που τα Π.Μ σου!

Καλημέρα!

Έλλειψη+Διανύσματα

Έλλειψη+Διανύσματα

Re: Έλλειψη+Διανύσματα

Re: Έλλειψη+Διανύσματα

Re: Έλλειψη+Διανύσματα

Re: Έλλειψη+Διανύσματα

Re: Έλλειψη+Διανύσματα

Μέλη σε σύνδεση