άσκηση παραβολής 02

#1

Έστω η παραβολή $y^2=2px, \ p>0$ , μέ εστία $\rm{E}$ .

Νά βρεθεί σημείο $\rm{M}$ τής παραβολής, τέτοιο ώστε η γωνία πού σχηματίζουν η εφαπτομένη $\varepsilon$ στήν παραβολή στό $\rm{M}$ καί τό τμήμα $\overline{\rm{EM}}$ νά είναι $\dfrac{\pi}{4}$ .
ii)

Γιά τό σημείο $\rm{M}$ τού ερωτήματος

νά αποδειχθεί ότι:
$\alpha)$ η εφαπτομένη $\varepsilon$ διέρχεται από τό σημείο τομής $\rm{A}$ τής διευθετούσας τής παραβολής μέ τόν άξονα $x^{\prime}x$ καί
$\beta)$ άν $\rm{B}$ είναι τό σημείο τομής τής εφαπτομένης $\varepsilon$ μέ τόν άξονα $y^{\prime}y$ , τότε ο φορέας τού τμήματος $\overline{\rm{BE}}$ είναι μεσοκάθετος τού τμήματος $\overline{\rm{AM}}$ .

papel · #2

Η εξισωση της εφαπτομενης ειναι $\displaystyle{y{y_o} = p\left( {x + {x_o}} \right)}$ στο σημειο $\displaystyle{M\left( {xo,yo} \right)}$ .

Η εξισωση της ΕΜ ειναι : $\displaystyle{2{y_o}x - \left( {2{x_o} - p} \right) \cdot y - p \cdot {y_o} = 0}$ .

Η γωνια ειναι : $\displaystyle{\varepsilon \varphi \left( \omega \right) = \frac{{\left| {{\lambda _{\rm E}} - {\lambda _{EM}}} \right|}}{{\left| {1 + {\lambda _E}{\lambda _{EM}}} \right|}} = \frac{{\left| {\frac{p}{{{y_o}}} - \frac{{2{y_o}}}{{2{x_o} - p}}} \right|}}{{\left| {1 + \frac{p}{{{y_o}}} \cdot \frac{{2{y_o}}}{{2{x_o} - p}}} \right|}} = ... = \left| {\frac{p}{{{y_o}}}} \right|}$

Η γωνια ω=π/4 αρα το σημειο Μ(p/2,p).

ii)a) Βαζοντας στην εξισωση της εφαπτομενης y=0 βρισκω Α(-p/2,0)
ii)b) To B (0,p/2) προφανες το ζητουμενο.

#3

Η παραβολή y^2=2px

έχει εστία ${\rm{E}}\left({{p\over2},\,0}\right)$ .

Άν $\varepsilon^{\prime}$ η κάθετη στήν εφαπτομένη $\varepsilon$ στό $\rm{M}$ , τότε οί δύο οξείες γωνίες πού σχηματίζονται από τό τμήμα $\overline{\rm{EM}}$ , τήν $\varepsilon^{\prime}$ καί τήν παράλληλη στόν ημιάξονα ${\rm{O}}x$ ημιευθεία ${\rm{M}}\chi$ , είναι ίσες. Επειδή η γωνία πού σχηματίζουν η εφαπτομένη $\varepsilon$ στήν παραβολή καί τό τμήμα $\overline{\rm{EM}}$ είναι $\dfrac{\pi}{4}$ , έπεται ότι κάθε μία από τίς παραπάνω γωνίες είναι $\dfrac{\pi}{4}$ καί η γωνία $\widehat{{\rm{EM}}\chi}=\dfrac{\pi}{2}$ . Αλλά τότε $\overline{\rm{EM}}\bot{x^{\prime}x}$ καί $\rm{M}\left({\frac{p}{2},\sqrt{2p\,\frac{p}{2}}\,}\right)=\left({\frac{p}{2},\,p}\right)$ .

: parabola.png (42.86 KiB) Προβλήθηκε 953 φορές

άσκηση παραβολής 02

άσκηση παραβολής 02

Re: άσκηση παραβολής 02

Re: άσκηση παραβολής 02

Μέλη σε σύνδεση