Γεωμετρικός τόπος

Tolaso J Kos · #1

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων που εφάπτονται στους κύκλους $\mathcal{C}_1: x^2 + y^2 +4x+3=0$ και $\mathcal{C}_2: x^2+y^2 -4x-45=0$ .

#2

Δίνω μια πιο γενική λύση...

Εύκολα βρίσκουμε ότι ο ένας κύκλος $\displaystyle (L,r)$ είναι εσωτερικός του άλλου $\displaystyle (K,R)$ .
Έστω ότι o άγνωστος κύκλος $\displaystyle (M,a)$ , εφάπτεται εσωτερικά στον $\displaystyle (K,R)$ και εξωτερικά στον $\displaystyle (L,r)$ .
Τότε ισχύει
$\displaystyle MK+ML=KN-NM+MT+ML=R-a+a+r=r+R$
Άρα το άθροισμα $\displaystyle MK+ML$ διατηρείται σταθερό , οπότε το $\displaystyle M$ ανήκει σε έλλειψη
με μεγάλο άξονα $\displaystyle r+R$ και εστίες τα $\displaystyle L,K$

#3

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 21, 2024 1:12 pm
Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων που εφάπτονται στους κύκλους $\mathcal{C}_1: x^2 + y^2 +4x+3=0$ και $\mathcal{C}_2: x^2+y^2 -4x-45=0$ .

exdx έγραψε: ↑
Κυρ Απρ 21, 2024 5:53 pm
Δίνω μια πιο γενική λύση...

Εύκολα βρίσκουμε ότι ο ένας κύκλος $\displaystyle (L,r)$ είναι εσωτερικός του άλλου $\displaystyle (K,R)$ .
Έστω ότι o άγνωστος κύκλος $\displaystyle (M,a)$ , εφάπτεται εσωτερικά στον $\displaystyle (K,R)$ και εξωτερικά στον $\displaystyle (L,r)$ .
Τότε ισχύει
$\displaystyle MK+ML=KN-NM+MT+ML=R-a+a+r=r+R$
Άρα το άθροισμα $\displaystyle MK+ML$ διατηρείται σταθερό , οπότε το $\displaystyle M$ ανήκει σε έλλειψη
με μεγάλο άξονα $\displaystyle r+R$ και εστίες τα $\displaystyle L,K$

Καλημέρα σας...

Αναρτώ κι εγώ ένα σχήμα, καθώς και το δυναμικό του, όπου
μπορεί κανείς να δεί τον τρόπο με τον οποίο κατασκευάστηκε
ο κύκλος του οποίου ζητούμε το γ. τόπο.
Ακολουθεί κι ένα ακόμα σχήμα με το δυναμικό του επίσης, όπου
ο ζητούμενος τόπος είναι υπερβολή.

Σχήμα 1ο

: Γ.τόπος Έλλειψη 1.png (34.44 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές

Δυναμικό σχήμα 1:

https://www.geogebra.org/m/zp7b54n4

Σχήμα 2ο

: Γ.τόπος(υπερβολή).png (54.94 KiB) Προβλήθηκε 131 φορές

Δυναμικό σχήμα 2

https://www.geogebra.org/m/hx5wneqw

Στα δυο αυτά σχήματα μπορεί κανείς, αν το ψάξει και χωρίς άλλη ξενάγηση,

να αντιληφθεί και τον τρόπο κατασκευής των κινούμενων κύκλων.

Η απόδειξη και στη δεύτερη περίπτωση είναι ίδια με εκείνη του κ. Γιώργη Καλαθάκη.

Κώστας Δόρτσιος

Γεωμετρικός τόπος

Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Re: Γεωμετρικός τόπος

Μέλη σε σύνδεση