Εφαπτόμενη της υπερβολής

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται η παραβολή με εξίσωση $\displaystyle \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{5}=1$ . Να βρεθεί η ευθεία της δέσμης που ορίζει η εξίσωση

$\displaystyle{2x + y+1 + p \left( x-y+2 \right) =0 \quad, \quad p \in \mathbb{R}}$
η οποία είναι εφαπτόμενη στην υπερβολή.

#2

Tolaso J Kos έγραψε: ↑
Πέμ Απρ 25, 2024 1:02 pm
Δίδεται η παραβολή με εξίσωση $\displaystyle \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{5}=1$ . Να βρεθεί η ευθεία της δέσμης που ορίζει η εξίσωση

$\displaystyle{2x + y+1 + p \left( x-y+2 \right) =0 \quad, \quad p \in \mathbb{R}}$
η οποία είναι εφαπτόμενη στην υπερβολή.

Είναι : $\displaystyle 2x+y+1+p\left( x-y+2 \right)=0\,\,$ για κάθε $\displaystyle p\in \mathbb{R}$ οπότε ισοδύναμα :
$\displaystyle 2x+y+1=0\wedge x-y+2=0\,\,\,\Leftrightarrow (x,y)=(-1,1)$ . Άρα όλες οι ευθείες διέρχονται απ΄το $\displaystyle N(-1,1)$
Η εφαπτομένη της υπερβολής στο $\displaystyle M({{x}_{1}},{{y}_{1}})$ έχει εξίσωση
$\displaystyle \frac{x{{x}_{1}}}{9}-\frac{y{{y}_{1}}}{5}=1$ και διέρχεται από το $\displaystyle N(-1,1)$ αν και μόνο αν
$\displaystyle - \frac{{{x_1}}}{9} - \frac{{{y_1}}}{5} = 1 \Leftrightarrow {y_1} = - \frac{{5{x_1}}}{9} - 5$ (1)
Eπειδή το $\displaystyle M({{x}_{1}},{{y}_{1}})$ ανήκει στην υπερβολή έχουμε και $\displaystyle \frac{{{x}_{1}}^{2}}{9}-\frac{{{y}_{1}}^{2}}{5}=1$ (2)
Το σύστημα των (1) και (2) δίνει
$\displaystyle ({{x}_{1}},{{y}_{1}})=\left( -\frac{9}{2},-\frac{5}{2} \right)$ ή $\displaystyle ({{x}_{1}},{{y}_{1}})=(27,-20)$ ,
οπότε οι ζητούμενες ευθείες είναι , αντίστοιχα : $\displaystyle -\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1\Leftrightarrow y=x+2$ και $\displaystyle 3x+4y=1$

Εφαπτόμενη της υπερβολής

Εφαπτόμενη της υπερβολής

Re: Εφαπτόμενη της υπερβολής

Μέλη σε σύνδεση