Διανύσματα: Απόδειξη σημείου ως μέσο τμήματος

dimplak · #1

Δίνεται τετράπλευρο ΑΒΓΔ και το σημείο τομής Μ των τμημάτων που ορίζονται από τα μέσα των απέναντι πλευρών του. Αν είναι $\vec{AK} = \vec{MB}$ και $\vec{K\Lambda} = \vec{M\Gamma}$ , να αποδειχθεί ότι το Μ είναι το μέσο του τμήματος ΛΔ.

A.Spyridakis · #2

Θα δείξουμε κατ' αρχήν ότι τα τμήματα που ενώνουν τα μέσα τετραπλεύρου διχοτομούνται. Δηλ. στο σχήμα μας τα ΠΡ και ΣΤ. Είναι: $\vec{\Pi T}=\vec{\Pi B}+\vec{BT}=\frac{\vec{AB}}{2}+\frac{\vec{B\Gamma }}{2}=\frac{\vec{A\Gamma }}{2} =\frac{\vec{A\Delta }+\vec{\Delta \Gamma }}{2} =\vec{\Sigma \Delta }+\vec{\Delta P} =\vec{\Sigma P}$
Άρα το ΠΣΡΤ είναι παρ/μο, συνεπώς οι διαγώνιοί του διχοτομούνται. Επίσης, έχουμε
$\vec{M\Lambda } =\vec{M\Sigma }+\vec{\Sigma A}+\vec{AK}+\vec{K\Lambda } =\vec{M\Sigma }+ \vec{\Delta \Sigma } +\vec{MB}+\vec{M\Gamma } =\vec{M\Sigma }+ \vec{\Delta \Sigma } +2\vec{MT}=\vec{\Delta \Sigma } +\vec{MT}= \vec{\Delta \Sigma } +\vec{\Sigma M }=\vec{\Delta M}$ ο. έ. δ.

dimplak · #3

Ευχαριστώ πολύ για τη λύση! Αν και με απασχόλησε αρκετή ώρα, κατά σύμπτωση, την έλυσα λίγο πριν τη δημοσιεύσετε! Σαφώς από την αρχή ήξερα ότι χρειαζόταν να αποδείξω τη διχοτόμηση των τμημάτων, αλλά άργησα γιατί πήγα από ενάν δρόμο τόσο μακρινό σε σχέση με τον απλό και ξεκάθαρο δικό σας. Ευχαριστώ κ πάλι!

Διανύσματα: Απόδειξη σημείου ως μέσο τμήματος

Διανύσματα: Απόδειξη σημείου ως μέσο τμήματος

Re: Διανύσματα: Απόδειξη σημείου ως μέσο τμήματος

Re: Διανύσματα: Απόδειξη σημείου ως μέσο τμήματος

Μέλη σε σύνδεση