Μιγαδικές ρίζες εξίσωσης
Συντονιστής: chris_gatos
- chris_gatos
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6962
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 9:03 pm
- Τοποθεσία: Ανθούπολη
Μιγαδικές ρίζες εξίσωσης
Ένα ...κέρασμα με μιγαδικούς. Καλές γιορτές!
Έστω οι μιγαδικές ρίζες της εξίσωσης
όπου πραγματικός αριθμός με
Να αποδείξετε ότι:
Έστω οι μιγαδικές ρίζες της εξίσωσης
όπου πραγματικός αριθμός με
Να αποδείξετε ότι:
Χρήστος Κυριαζής
Re: Μιγαδικές ρίζες εξίσωσης
ΧΡΟΝΙΑ ΠΟΛΛΑchris_gatos έγραψε:Ένα ...κέρασμα με μιγαδικούς. Καλές γιορτές!
Έστω οι μιγαδικές ρίζες της εξίσωσης
όπου πραγματικός αριθμός με
Να αποδείξετε ότι:
... ,. Διακρίνουμε :
,τότε έχουμε :
τότε έχουμε :
,θ.δ.ο.
Υποθέτουμε ότι ,τότε θα έχουμε
,ΑΤΟΠΟ,αφού είναι
Ομοίως σε άτοπο καταλήγουμε αν υποθέσουμε ότι .Επομένως είναι .
Απο τα παραπάνω προκύπτει ότι για οποιοδήποτε ,ισχύει ,δηλαδή είναι .
Ν.Ζ.
-
- Δημοσιεύσεις: 172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 10:56 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Μιγαδικές ρίζες εξίσωσης
Αγαπητοί Συνάδελφοι Καλημέρα και χρόνια πολλά
Μία άλλη αντιμετώπιση:
Αν , τότε (άτοπο) επομένως :
Για η εξίσωση γράφεται: \displaystyle{\displaystyle{{{z}^{2}}+\alpha z+\alpha \frac{1}{z}+\frac{1}{{{z}^{2}}}=0\text{ }\Leftrightarrow }\displaystyle{{{\left( z+\frac{1}{z} \right)}^{2}}-2+\alpha \left( z+\frac{1}{z} \right)=0\text{ }\Leftrightarrow }\displaystyle{z+\frac{1}{z}=w}\displaystyle{{{w}^{2}}+\alpha w-2=0}\displaystyle{\Delta ={{\alpha }^{2}}+8>0}\displaystyle{\frac{\gamma }{\alpha }=-2<0}\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}.}\displaystyle{z}\displaystyle{w\in \mathbb{R}\Leftrightarrow w=\bar{w}\Leftrightarrow z+\frac{1}{z}=\bar{z}+\frac{1}{{\bar{z}}}\Leftrightarrow }}, επειδή θα είναι
Mετά και από την υπόδειξη του αγαπητού nikozan να συμπληρώσω την λύση
Για : \displaystyle{\displaystyle{\text{(}{{\text{z}}^{3}}\text{+1)(z+1)=0}\Leftrightarrow }}\displaystyle{\displaystyle{\Leftrightarrow z=-1}\displaystyle{z=\frac{1}{2}\pm \frac{i\sqrt{3}}{2}}\displaystyle{\left| z \right|=\sqrt{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=}}
Για :
(διπλή) ή με
Μία άλλη αντιμετώπιση:
Αν , τότε (άτοπο) επομένως :
Για η εξίσωση γράφεται: \displaystyle{\displaystyle{{{z}^{2}}+\alpha z+\alpha \frac{1}{z}+\frac{1}{{{z}^{2}}}=0\text{ }\Leftrightarrow }\displaystyle{{{\left( z+\frac{1}{z} \right)}^{2}}-2+\alpha \left( z+\frac{1}{z} \right)=0\text{ }\Leftrightarrow }\displaystyle{z+\frac{1}{z}=w}\displaystyle{{{w}^{2}}+\alpha w-2=0}\displaystyle{\Delta ={{\alpha }^{2}}+8>0}\displaystyle{\frac{\gamma }{\alpha }=-2<0}\displaystyle{\alpha \in \mathbb{R}.}\displaystyle{z}\displaystyle{w\in \mathbb{R}\Leftrightarrow w=\bar{w}\Leftrightarrow z+\frac{1}{z}=\bar{z}+\frac{1}{{\bar{z}}}\Leftrightarrow }}, επειδή θα είναι
Mετά και από την υπόδειξη του αγαπητού nikozan να συμπληρώσω την λύση
Για : \displaystyle{\displaystyle{\text{(}{{\text{z}}^{3}}\text{+1)(z+1)=0}\Leftrightarrow }}\displaystyle{\displaystyle{\Leftrightarrow z=-1}\displaystyle{z=\frac{1}{2}\pm \frac{i\sqrt{3}}{2}}\displaystyle{\left| z \right|=\sqrt{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}}}=}}
Για :
(διπλή) ή με
τελευταία επεξεργασία από Andreas Panteris σε Παρ Δεκ 26, 2014 5:06 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Μιγαδικές ρίζες εξίσωσης
Με την γνωστή αντικατάσταση η επιλύουσα είναι , που έχει πραγματικές ρίζες τις . Eίναιchris_gatos έγραψε:Ένα ...κέρασμα με μιγαδικούς. Καλές γιορτές!
Έστω οι μιγαδικές ρίζες της εξίσωσης
όπου πραγματικός αριθμός με
Να αποδείξετε ότι:
Τότε η εξίσωση , έχει διακρίνουσα και ρίζες , που έχουν προφανώς μέτρο 1.
Νῆφε καί μέμνασο ἀπιστεῖν˙ ἄρθρα ταῦτα γάρ φρενῶν
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
Νοῦς ὁρᾷ καί Νοῦς ἀκούει˙ τἆλλα κωφά καί τυφλά.
...
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Μιγαδικές ρίζες εξίσωσης
Άλλη μία λύση για ποικιλία!
Καταρχήν συνεπώς η αρχική σχέση γράφεται και αφού άρα
απ' όπου ή ή
Από τις παραπάνω, η τελευταία είναι αδύνατη καθώς αν αντικαταστήσουμε καταλήγουμε άμεσα σε ένα άθροισμα θετικών να είναι ίσο με μηδέν.
Αν τότε κι έτσι η σχέση γίνεται και αφού οι αριθμοί | είναι ομόσημοι άρα δηλαδή .
Άρα σε κάθε περίπτωση ισχύει .
Αλέξανδρος
Καταρχήν συνεπώς η αρχική σχέση γράφεται και αφού άρα
απ' όπου ή ή
Από τις παραπάνω, η τελευταία είναι αδύνατη καθώς αν αντικαταστήσουμε καταλήγουμε άμεσα σε ένα άθροισμα θετικών να είναι ίσο με μηδέν.
Αν τότε κι έτσι η σχέση γίνεται και αφού οι αριθμοί | είναι ομόσημοι άρα δηλαδή .
Άρα σε κάθε περίπτωση ισχύει .
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
-
- Δημοσιεύσεις: 172
- Εγγραφή: Τετ Δεκ 31, 2008 10:56 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Μιγαδικές ρίζες εξίσωσης
Θα μπορούσαμε για τους μαθητές μας, να βρούμε για ποιες τιμές του η εξίσωση είναι αδύνατη στο
Είναι με .
Θέτουμε με \displaystyle{\displaystyle{\frac{(x-1)(x+1)({{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+1)}{{{({{x}^{3}}+x)}^{2}}}}\displaystyle{{{A}_{1}}=\left( -\infty ,-1 \right]}\displaystyle{{{A}_{2}}=\left( -1,0 \right)}\displaystyle{{{A}_{3}}=\left( 0,1 \right)}\displaystyle{{{A}_{4}}=\left[ 1,+\infty \right)}\displaystyle{\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+1}{{{x}^{3}}+x}=}}\displaystyle{\displaystyle{\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,x=-\infty }\displaystyle{f(-1)=-1}\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}\cdot \frac{{{x}^{4}}+1}{{{x}^{2}}+1}=-\infty }\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}\cdot \frac{{{x}^{4}}+1}{{{x}^{2}}+1}=+\infty }\displaystyle{f(1)=1}\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+1}{{{x}^{3}}+x}=}}\displaystyle{\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x=+\infty }\displaystyle{f(-1)=-1}\displaystyle{f}\displaystyle{{{A}_{1}}=\left( -\infty ,-1 \right]}\displaystyle{{{A}_{2}}=\left( -1,0 \right)}\displaystyle{{{A}_{3}}=\left( 0,1 \right)}\displaystyle{{{A}_{4}}=\left[ 1,+\infty \right)}\displaystyle{f(A_1)=\left( -\infty ,-1 \right]}\displaystyle{f(A_2)=\left( -\infty ,-1 \right)}\displaystyle{f(A_3)=\left( 1,+\infty \right)}\displaystyle{f(A_4)=\left[ 1,+\infty \right)}\displaystyle{f(A)=}}\displaystyle{\displaystyle{f(A_2)}}
Επομένως η εξίσωση είναι αδύνατη στο αν
Είναι με .
Θέτουμε με \displaystyle{\displaystyle{\frac{(x-1)(x+1)({{x}^{4}}+4{{x}^{2}}+1)}{{{({{x}^{3}}+x)}^{2}}}}\displaystyle{{{A}_{1}}=\left( -\infty ,-1 \right]}\displaystyle{{{A}_{2}}=\left( -1,0 \right)}\displaystyle{{{A}_{3}}=\left( 0,1 \right)}\displaystyle{{{A}_{4}}=\left[ 1,+\infty \right)}\displaystyle{\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+1}{{{x}^{3}}+x}=}}\displaystyle{\displaystyle{\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,x=-\infty }\displaystyle{f(-1)=-1}\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}\cdot \frac{{{x}^{4}}+1}{{{x}^{2}}+1}=-\infty }\displaystyle{\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x}\cdot \frac{{{x}^{4}}+1}{{{x}^{2}}+1}=+\infty }\displaystyle{f(1)=1}\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{4}}+1}{{{x}^{3}}+x}=}}\displaystyle{\displaystyle{\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,x=+\infty }\displaystyle{f(-1)=-1}\displaystyle{f}\displaystyle{{{A}_{1}}=\left( -\infty ,-1 \right]}\displaystyle{{{A}_{2}}=\left( -1,0 \right)}\displaystyle{{{A}_{3}}=\left( 0,1 \right)}\displaystyle{{{A}_{4}}=\left[ 1,+\infty \right)}\displaystyle{f(A_1)=\left( -\infty ,-1 \right]}\displaystyle{f(A_2)=\left( -\infty ,-1 \right)}\displaystyle{f(A_3)=\left( 1,+\infty \right)}\displaystyle{f(A_4)=\left[ 1,+\infty \right)}\displaystyle{f(A)=}}\displaystyle{\displaystyle{f(A_2)}}
Επομένως η εξίσωση είναι αδύνατη στο αν
- Συνημμένα
-
- pinakas1.jpg (18.22 KiB) Προβλήθηκε 875 φορές
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες