Τριγωνομετρικό κέρασμα (1)

#1

Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\frac{1}{{\cos {0^o}\cos {1^o}}} + \frac{1}{{\cos {1^o}\cos {2^o}}} + \frac{1}{{\cos {2^o}\cos {3^o}}} + .... + \frac{1}{{\cos {{88}^o}\cos {{89}^o}}} = \frac{{\cos {1^o}}}{{{{\sin }^2}{1^o}}}}$

Tolaso J Kos · #2

chris_gatos έγραψε:Να αποδείξετε ότι:

$\displaystyle{\frac{1}{{\cos {0^o}\cos {1^o}}} + \frac{1}{{\cos {1^o}\cos {2^o}}} + \frac{1}{{\cos {2^o}\cos {3^o}}} + .... + \frac{1}{{\cos {{88}^o}\cos {{89}^o}}} = \frac{{\cos {1^o}}}{{{{\sin }^2}{1^o}}}}$

Χαλό Χρήστο,

Έχουμε διαδοχικά ότι :

$\displaystyle{\begin{aligned} \frac{1}{\cos k \cos (k+1)} &=\frac{1}{\sin 1}\frac{\sin 1}{\cos k \cos (k+1)} \\ &= \frac{1}{\sin 1}\frac{\sin (k+1)\cos k - \sin k \cos (k+1)}{\cos k \cos (k+1)}\\ &= \frac{1}{\sin 1}\left [ \tan (k+1)- \tan k \right ] \end{aligned}}$

Αθροίζοντας τηλεσκοπικά έχουμε: $\displaystyle{ \sum_{k=0}^{88}\frac{1}{\cos k \cos (k+1)}=\frac{1}{\sin 1} [\tan 89-\tan 0]=\frac{\cos 1}{\sin^2 1}}$ διότι $\tan 89 = \cot 1$ .

Τριγωνομετρικό κέρασμα (1)

Τριγωνομετρικό κέρασμα (1)

Re: Τριγωνομετρικό κέρασμα (1)

Μέλη σε σύνδεση