Παράμετρος

Atemlos · #1

Εαν το πολυώνυμο $\displaystyle{P(x) = 16{x^4} - 24{x^3} + 41{x^2} - mx + 16}$ μπορεί να γραφτεί σαν τέλειο τετράγωνο να βρεθεί η τιμή της σταθεράς $\displaystyle{m}$

Γιώργος Απόκης · #2

Έστω ότι υπάρχει πολυώνυμο $\displaystyle{Q(x)}$ με $\displaystyle{P(x)=Q^2(x)}$ , τότε προφανώς το $\displaystyle{Q(x)}$ είναι δευτέρου βαθμού,

έστω $\displaystyle{Q(x)=ax^2+bx+c,~a,b,c\in\mathbb R,~a\ne 0}$ .

Έχουμε $\displaystyle{Q^2(x)=(ax^2+bx+c)^2=a^2x^4+2abx^3+(2ac+b^2)x^2+2\color{red}bc\color{black}x+c^2}$ . Πρέπει να ισχύουν

$\displaystyle{\begin{cases}~~a^2=16~(1) \\~~2ab=-24~(2) \\2ac+b^2=41~(3) \\~~2\color{red}bc\color{black}=-m~(4)\\~~ c^2=16~(5) \end{cases}}$ .

Από την (1) έχουμε $\displaystyle{a=\pm 4}$ . Διακρίνουμε τις περιπτώσεις :

$\displaystyle{\bullet ~a=4}$ . Τότε από τη (2) έχουμε : $\displaystyle{b=-3}$ . Με αντικατάσταση στην (3) έχουμε $\displaystyle{8c+9=41\Leftrightarrow c=4}$

που ικανοποεί την (5). Αντικαθιστώντας στην (4) έχουμε : $\displaystyle{m=\color{red}24}$ .

$\displaystyle{\bullet ~a=-4}$ . Τότε από τη (2) έχουμε : $\displaystyle{b=3}$ . Με αντικατάσταση στην (3) έχουμε $\displaystyle{-8c+9=41\Leftrightarrow c=-4}$

που ικανοποεί την (5). Αντικαθιστώντας στην (4) έχουμε : $\displaystyle{m=\color{red}24}$ .

Edit (10:31) (Τα κόκκινα...)

#3

Έστω $\displaystyle{16x^4 -24x^3 +41x^2 -mx+16=(ax^2 +bx+c)^2 = a^2 x^4 +b^2 x^2 +c^2 +2abx^3 +2acx^2 +2bcx}$

Άρα πρέπει :

$\displaystyle{a^2 =16 , 2ab=-24 , b^2 +2ac=41 , 2bc=-m , c^2 =16}$ . Άρα:

$\displaystyle{|a|=4 , |c|=4, 2ab=-24 , b^2 +2ac=41 , m=-2bc}$

Αν $\displaystyle{a=4}$ , τότε $\displaystyle{b=-3 , c=4}$ , ενώ αν $\displaystyle{a=-4}$ , τότε $\displaystyle{b=3 , c=-4}$ . Και στις δύο αυτές περιπτώσεις, έχουμε $\displaystyle{bc=-12}$ και άρα $\displaystyle{m=-2bc=24}$

#4

Μόλις είδα ότι προηγήθηκε ο Γιώργος. Κάποιος από εμάς, έχει κάνει απροσεξία. Θα το ξαναδώ...

Γιώργος Απόκης · #5

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε:Μόλις είδα ότι προηγήθηκε ο Γιώργος. Κάποιος από εμάς, έχει κάνει απροσεξία. Θα το ξαναδώ...

Kαι κάποιος από μας δεν έχει(ς) κάνει...

Παράμετρος

Παράμετρος

Re: Παράμετρος

Re: Παράμετρος

Re: Παράμετρος

Re: Παράμετρος

Μέλη σε σύνδεση