Ένα γινόμενο!

#1

Υπολογίστε το

$\displaystyle{\rm \Omega =\prod_{n=1}^{\infty}\frac{1}{1-\tan ^2 2^{-n}}}$

#2

Έστω

$\displaystyle{{a_n} = \frac{1}{{1 - {{\tan }^2}\left( {{2^{ - n}}} \right)}} = \frac{{{{\cos }^2}\left( {{2^{ - n}}} \right)}}{{{{\cos }^2}\left( {{2^{ - n}}} \right) - {{\sin }^2}\left( {{2^{ - n}}} \right)}} = \frac{{{{\cos }^2}\left( {{2^{ - n}}} \right)}}{{{{\cos }}\left( {{2^{ - n + 1}}} \right)}}.}$

Τότε

$\displaystyle{{a_1}{a_2} \cdots {a_n} = \frac{{{{\cos }^2}\left( {{2^{ - 1}}} \right)}}{{\cos \left( {{2^0}} \right)}} \cdot \frac{{{{\cos }^2}\left( {{2^{ - 2}}} \right)}}{{\cos \left( {{2^{ - 1}}} \right)}} \cdots \frac{{{{\cos }^2}\left( {{2^{ - n}}} \right)}}{{\cos \left( {{2^{ - n + 1}}} \right)}} = \frac{1}{{\cos 1}}\cos \left( {\frac{1}{2}} \right)\cos \left( {\frac{1}{4}} \right) \cdots \cos \left( {\frac{1}{{{2^n}}}} \right) = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{{\cos 1}}\frac{{\cos \left( {\frac{1}{2}} \right)\cos \left( {\frac{1}{4}} \right) \cdots 2\sin \left( {\frac{1}{{{2^n}}}} \right)\cos \left( {\frac{1}{{{2^n}}}} \right)}}{{2\sin \left( {\frac{1}{{{2^n}}}} \right)}} = \frac{1}{{\cos 1}}\frac{{\cos \left( {\frac{1}{2}} \right)\cos \left( {\frac{1}{4}} \right) \cdots \cos \left( {\frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right)\sin \left( {\frac{1}{{{2^{n - 1}}}}} \right)}}{{2\sin \left( {\frac{1}{{{2^n}}}} \right)}} = \cdots = }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{{\cos 1}} \cdot \frac{{\sin 1}}{{{2^n}\sin \left( {\frac{1}{{{2^n}}}} \right)}} = \tan 1 \cdot \frac{1}{{{2^n}\sin \left( {\frac{1}{{{2^n}}}} \right)}}}$

και άρα

$\displaystyle{\Omega = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {{a_1}{a_2} \cdots {a_n}} \right) = \tan 1 \cdot \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{2^n}\sin \left( {\frac{1}{{{2^n}}}} \right)}} = \tan 1,}$

αφού

$\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{{2^n}\sin \left( {\frac{1}{{{2^n}}}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{{\frac{{\sin \left( {{2^{ - n}}} \right)}}{{{2^{ - n}}}}}} = \frac{1}{1} = 1.}$

Tolaso J Kos · #3

Μετά την ωραία λύση του Βαγγέλη ως προς τον υπολογισμό του γινομένου, μπορούμε να το πάμε ένα βήμα πιο πέρα και να υπολογίσουμε τη σειρά $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left ( 1-\tan^2 2^{-n} \right)}$ . O υπολογισμός γίνεται με τη βοήθεια του γινομένου και είναι πολύς απλός πλέον που τον αφήνω ως άσκηση.

Ένα γινόμενο!

Ένα γινόμενο!

Re: Ένα γινόμενο!

Re: Ένα γινόμενο!

Μέλη σε σύνδεση