Μερικό άθροισμα τριγωνομετρικών.

#21

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:...τις σειρές. Άλλωστε δεν είναι και το δυσκολότερο θέμα στα μαθηματικά...

Δέν συμφωνώ. π.χ. η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{({-1})^{n+1}}{n^s}$ , $\Re(s)>0$ , απασχόλησε καί απασχολεί τούς καλύτερους μαθηματικούς σέ όλο τόν κόσμο εδώ καί 150 χρόνια.

Ωmega Man · #22

Αφού λοιπόν είναι η τύχη μου απόψε να αντιδικώ για κάτι που όπως είπα θα είχε λυθεί με ένα προσωπικό μήνυμα, θα ακολουθήσω τα λόγια ενός ποιητή "Fortune plango vulnera stillantibus ocellis" και θα σας καλυνηχτήσω κ. Κυριακόπουλε πραγματικά με κουράσατε πολύ και δεν θα ασχοληθώ ούτε εγώ παραπάνω , ίσως αν σκεφτείτε αυτά που είπα θα καταλάβετε γιατί θα είχαμε γλυτώσει όλον αυτό τον ανούσιο διάλογο (18 μηνύματα μετά την δεύτερη λύση) και γιατί αυτό που κάνετε (το να το παίζετε εξυπνάκιας δηλαδή) είναι εκνευριστικότατο.

Όποιος θίγεται σε επιστημονικές συζητήσεις κάτι θέλει να κρύψει

Ούτε δικηγόροι να ήμασταν . το παραπάνω το θεωρώ τουλάχιστον γελοίο .......

S.E.Louridas · #23

Παρ’ όλο που ανήκω στην κατηγορία αυτών που πιστεύουν ότι όποιος μπορεί να λύνει ένα πρόβλημα έχει κατανοήσει την αντίστοιχη θεωρία τουλάχιστον καλά, θα παραθέσω και το εξής:
Δ. Κάππος: «Απειροστικός Λογισμός» σελ.49
Ορισμός:
Σε κάθε ακολουθία a_n ,

n=1,2,…αντιστοιχεί μία ακολουθία μερικών αθροισμάτων των όρων αυτής , ήτοι : $\sigma _n = \sum\limits_{k = 1}^n {a_k },$ n=1,2,… .Tαύτην καλούμε σειρά με όρους τους όρους της ακολουθίας a_n .

Συμβολίζουμε δε ταύτην και με a_1 + a_2 + ....

ή και άλλως $\sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n } .$
Θερμή Παράκληση:
Οι εισηγητές, γενικότερα, ας μην υποτιμούν (έστω και ακούσια στις περισσότερες των περιπτώσεων) και εμάς που παρακολουθούμε. Ας λάβουν υπ’ όψη ότι ήμαστε και εμείς εδώ με τουλάχιστον την δυνατότητα να κρίνουμε τουλάχιστον τις Μαθηματικές λύσεις και τις Μαθηματικές απόψεις.
Ας εκθέτουν λοιπόν τις Μαθηματικές απόψεις τους λιτά (περισσότερα Μαθηματικά λιγότερες λέξεις) και με την δυνατή αυστηρότητα και να είναι σίγουροι ότι κάτι καταλαβαίνουμε και εμείς και αν όχι ότι το ψάxνουμε.

Προχωράμε !!

S.E.Louridas

#24

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Ακριβώς με αυτά που σου γράφω ήθελα να επισημάνω ότι κάτι άλλο πρέπει να εννοείς.
Φιλικά.

Κύριε Αντώνη, δεν εννοώ τίποτα περισσότερο, ούτε κάτι λιγότερο από αυτό που είπα, και εξακολουθώ να το πιστεύω:

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:το σύμβολο $\displaystyle{\sum\limits_{k = 1}^n {{\alpha _k}} }$ δεν παριστάνει σειρά.

Είναι $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\sum_{k=1}^{+\infty}\bar{a}_{k}}$ , όπου $\displaystyle{\bar{a}_{k}:=\begin{cases}a_{k} & k=1,\ldots,n \\ 0 & k>n\end{cases}}$ και συνεπώς το σύμβολο $\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}a_{k}}$ παριστάνει σειρά,

με την ίδια ακριβώς λογική που, επειδή $\displaystyle{3=3+0\cdot i}$ , το

εκτός από φυσικός είναι και μιγαδικός!

Εντελώς φιλικά.

Α.Κυριακόπουλος · #25

grigkost έγραψε:
Α.Κυριακόπουλος έγραψε:...τις σειρές. Άλλωστε δεν είναι και το δυσκολότερο θέμα στα μαθηματικά...
Δέν συμφωνώ. π.χ. η σειρά $\displaystyle\mathop{\sum}\limits_{n=1}^{\infty}\frac{({-1})^{n+1}}{n^s}$ , $\Re(s)>0$ , απασχόλησε καί απασχολεί τούς καλύτερους μαθηματικούς σέ όλο τόν κόσμο εδώ καί 150 χρόνια.

Γρηγόρη.
• Όταν έγραψα ότι «οι σειρές δεν είναι και το δυσκολότερο θέμα στα μαθηματικά», εννοούσα ως προς την τακτοποίηση και κατανόηση των εννοιών. Δηλαδή, τι είναι σειρά, τί ονομάζουμε μερικό άθροισμα σειράς και τι ονομάζουμε άθροισμα σειράς, αν υπάρχει. Δεν είναι, για παράδειγμα, όπως η έννοια του αόριστου ολοκληρώματος που το ίδιο το σχολικό βιβλίο λέει ότι είναι σύνολο, ενώ στη συνέχεια δεν το αντιμετωπίζει σαν σύνολο!!! Και βέβαια πολύ καλά κάνανε που το βγάλανε από την ύλη.
• Βεβαίως, όπως σε κάθε κεφάλαιο των μαθηματικών, έτσι και στο κεφάλαιο των σειρών, υπάρχουν δύσκολα και άλυτα προβλήματα.
• Όταν λέω τι γνώμη μου σε κάτι δεν θεωρώ ότι θίγω αυτόν που το έχει γράψει. Μπορεί να προβάλλει κόσμια τις επιστημονικές του αντιρρήσεις. Θα το επαναλάβω και ας μη συμφέρει μερικούς: «Όποιος θίγεται σε επιστημονικές συζητήσεις κάτι θέλει να κρύψει».
• Θα ήθελα όμως να σε ρωτήσω: Είναι σωστό ένας που θέλει να λέγεται επιστήμονας, αντί να προβάλλει τις επιστημονικές του αντιρρήσεις να καταφεύγει σε ύβρεις; Για αυτούς δεν υπάρχουν γενικοί συντονιστές;
Με εκτίμηση.

#26

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:• Θα ήθελα όμως να σε ρωτήσω: Είναι σωστό ένας που θέλει να λέγεται επιστήμονας, αντί να προβάλλει τις επιστημονικές του αντιρρήσεις να καταφεύγει σε ύβρεις; Για αυτούς δεν υπάρχουν γενικοί συντονιστές;

Αντώνη Κυριακόπουλε

επέτρεψέ μου νά σχολιάσω δύο σημεία στά παραπάνω:

α) Θεωρείς αυτονόητο ότι "υβρίζεσαι" χωρίς αυτό νά είναι αυτονόητο καί γιά τούς άλλους.
β) Μέ ρωτάς "άν υπάρχουν γενικοί συντονιστές" γιά νά επιληφθούν τών "ύβρεων".
Όμως, είναι οί γενικοί συντονιστές τού mathematica -πού προέκυψαν μέσα από δημοκρατικές διαδικασίες- πού θά κρίνουν τί είναι ύβρις καί τί όχι, είναι αυτοί πού είναι επιφορτισμένοι μέ τήν ευθύνη τής εφαρμογής τού κανονισμού.
Είναι, λοιπόν, στήν κρίση καί τήν δικαιοδοσία τών γενικών συντονιστών τό πότε καί μέ ποιόν τρόπο θά επέμβουν καί τό νά υπαγορεύουμε -οί υπόλοιποι- στούς γενικούς συντονιστές τό πότε καί μέ ποιόν τρόπο θά εκτελέσουν τό έργο πού έχουν αναλάβει όχι μόνο δέν βοηθάει τήν καλή λειτουργία τού mathematica, αλλά τήν υπονομεύει.

Επέτρεψέ μου νά εκφράσω τήν εκτίμησή μου απέναντί σου, αναφέρωντας τά δικά σου λόγια:

"ο καλύτερος τρόπος να βλάψεις μια ιδέα , είναι να την υπερασπίζεσαι με λάθος τρόπο."

#27

Ωmega Man έγραψε:Να αποδείξετε ότι για $\bf x\neq 0$ ,
$\displaystyle{\bf \sum_{n=1}^{n}\cos(kx)=\frac{\cos\left(\frac{n+1}{2}\right)\sin\left(\frac{nx}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}}$ . Κατά παρόμοιο τρόπο τι μπορούμε να πούμε για την σειρά

$\displaystyle{\bf \sum_{k=1}^{n}\sin(kx)}$ ;

Καλή σας μέρα και χρόνια πολλά
Αγαπητέ Γιώργο
'Ενα άσκημο κρυολόγημα δεν μου επιτρέπει να δω το σχολείο μου να παρελαύνει αλλά δεν με εμποδίζει να γράψω κάποιες σκέψεις. 'Οταν χθες είδα την ανάρτηση σου και αρκετά από τα μηνύματα που ακολούθησαν αναρωτήθηκα "Μα που είναι το πρόβλημα;". Γιατί και εγώ είχα δει (δεν θυμόμουν που) ότι ο όρος σειρά χρησιμοποιείται και για τα πεπερασμένα αθροίσματα ακολουθιών. Εξ΄άλλου προς τι ο συνήθης τίτλος "Infinite Series" σπουδαίων βιβλίων όπως του Knopp του Hyslop και του Bromwich;
Επειδή έχω επιλέξει να γηράσκω αεί διδασκόμενος (μην τρελαθούμε το "διδασκόμενος" επέλεξα το άλλο είναι αναπόφευκτο) και επειδή από νέος έχω λάβει σοβαρά την ρήση Θωμά Ακυινάτη "Να φοβάσαι τον άνθρωπο του ενός βιβλίου" (hominem unius libri timeo) έχω επιλέξει να περιστοιχίζομαι από βιβλία. Μάλιστα τα τελευταία χρόνια με την διάδοση των βιβλίων σε ηλεκτρονική μορφή οι φίλοι μου αυτοί έχουν αυξηθεί αυξάνοντας συνάμα και την δική μου αίσθηση ασφαλείας γιατί πως να το κάνουμε: Χρειαζόμαστε τις γνώσεις και άλλων ανθρώπων. Συγχώρεσε μου τον κάπως διδακτικό τόνο. Ως νέος και ικανός μαθηματικός ελπίζω να μην με παρεξηγήσεις.
Ψάχνοντας εδώ και κει χθες βράδυ επιβεβαίωσα ότι η επιλογή από σένα του όρου "σειρά" για τα πεπερασμένα αθροίσματα είναι απολύτως σωστή και επομένως η όλη κουβέντα επί του θέματος της ορολογία είναι, πάλι απολύτως, άσκοπη.
Απ΄ότι κατάλαβα παλαιότεροι συγγραφείς έγραφαν "σειρές" για τα πεπερασμένα αλλά και για τα άπειρα αθροίσματα. Έτσι έχουμε πεπερασμένες και άπειρες σειρές. Μερικοί συγγραφείς όπως Chrystal στον πρώτο τόμο της Άλγεβρας του (περισσότερα στοιχεία δεν δίνω μιας και έχω αναφερθεί στο mathematica σε αυτό το βιβλίο) σελίδα 480 γράφει
Λέγοντας σειρά εννοούμε το άθροισμα ενός αριθμού όρων που διαμορφώνονται συμφωνα με τον ίδιο κοινό νόμο. Για παράδειγμα αν είναι μια οποιαδήποτε και καθ' οιονδήποτε τρόποι συνάρτηση του τότε το άθροισμα

ονομάζεται σειρά.
Οι σειρές χρησιμοποιούνται σε πολλούς τομείς των Μαθηματικών. Στην Ανάλυση το ενδιαφέρον επικεντρώνεται στις άπειρες σειρές δηλαδή στις σειρές με "άπειρους" προσθετέους όπου βέβαια η πρόσθεση δεν λαμβάνεται υπ΄όψιν τοις μετρητοίς αλλά μέσω της σύγκλισης: Δηλαδή γράφουμε μεν ένα άθροισμα που μπορεί να "υπάρχει" ή και "να μην υπάρχει". Μερικές φορές γράφουμε μια άπειρη σειρά χωρίς να εξετάζουμε καν ζητήματα σύγκλισης όπως συμβαίνει με τις τυπικές δυναμοσειρές στην Άλγεβρα οι οποίες είναι γενίκευση της έννοιας του πολυωνύμου. Οι μαθηματικοί έχουν επιτρέψει στον εαυτό τους να γράφουν και αθροίσματα με άπειρους προσθετέους για ευκολία με την επιπλέον υπόθεση ότι σχεδόν όλοι (δηλαδή όλοι εκτός από ένα πεπερασμένο πλήθος) είναι 0.
Αρκετοί Αναλύστες σταμάτησαν να γράφουν "'Απειρη Σειρά" και έγραφαν για συντομία "Σειρά" ενδεχομένως γιατί αυτή ήταν το πεδίο ενδιαφέροντος τους. Αν λοιπόν ανοίξουμε κάποιο βιβλίο Ανάλυσης (όπως εκείνο του αείμνηστου Καθηγητή Δημητρίου Κάππου που ανέφερε ο Σωτήρης Λουρίδας) είναι πολύ πιθανό να συναντήσουμε τον όρο σειρά για τις άπειρες σειρές. Από μία πρόχειρη ματιά που έριξα είδα ότι έτσι συμβαίνει και σε άλλα καταξιωμένα βιβλία όπως του Apostol του Rudin ή του Dieudonne. Αυτό όμως επ΄ουδενί δεν σημαίνει ότι ο όρος "σειρά" για πεπερασμένο άθροισμα είναι λάθος. Το ενάντιο. Η διάκριση αυτή είναι εξαιρετικά χρήσιμη και γιαυτό χρησιμοποιείται σε σύγχρονα βιβλία:

: series1.png (64.77 KiB) Προβλήθηκε 943 φορές

: series2.png (45.76 KiB) Προβλήθηκε 943 φορές

: series3.png (54.33 KiB) Προβλήθηκε 943 φορές

Οι ενήμεροι μαθηματικοί δεν εκπλήσσονται καθόλου από την πολυτυπία όρων και ορισμών. Είναι συνηθισμένο πράγμα στα Μαθηματικά και ρυθμίζεται με τις αμοιβαίες επεξηγήσεις. Για παράδειγμα στην Άλγεβρα ορισμένοι συγγραφείς λέγοντας "δακτύλιος" εννοούν δακτύλιο με μονάδα ενώ άλλοι όχι. Συνήθως λέγοντας "σώμα" εννοούμε αντιμεταθετικό. Υπάρχουν όμως συγγραφείς που λέγοντας σώμα εννοούν το όχι κατ΄ ανάγκην αντιμεταθετικό αυτό δηλαδή που ονομάζουμε στρεβλό σώμα ή δακτύλιο με διαίρεση. Οι άνθρωποι αυτοί συνεννοούνται μια χαρά χωρίς να χρειάζεται να εκστομίσει ο ένας στο άλλον "Αυτό που λες δεν είναι έτσι είναι αλλιώς". Δυστυχώς το φαινόμενο των διαφορών στην ορολογία θα παραμείνει όπως ακριβώς παραμένουν και τα πολλά και διαφορετικά τοπωνύμια.
Και τελειώνοντας:
Ας υποθέσουμε ότι κάποιος δεν ήξερε τι είναι στα Μαθηματικά η σειρά. Πολύ πιθανό θα ήταν να κατέφευγε σε ένα λεξικό μαθηματικών όρων. Στο σπίτι μου έχω δύο. Ας δούμε τι θα τον πληροφορούσαν:
Το Borowski, Borwein_Distionary of Mathematics, Collins, 1989:

: series4.png (56.87 KiB) Προβλήθηκε 925 φορές

To Λεξικό Μαθηματικών 'Ορων Duden (μετάφραση και Επεξεργασία από τους καθηγητές του ΕΜΠ Γ.Ν. Παντελίδη, Δ.Χ. Κραββαρίτη) Πατάκης, 1994 (σε αυτό το Λεξικό έχει παραπέμψει και σε άλλη περίσταση ο Σωτήρης Λουρίδας: viewtopic.php?f=50&p=38801#p38801. Συμβαίνει να είναι χρήσιμο και τώρα)

: series5.png (93.38 KiB) Προβλήθηκε 925 φορές

Αυτά για το θέμα του ορισμού.

Ωmega Man έγραψε:...Αυτό δεν θα το σχολιάσω, γιατί και παλιότερα είχα πει και αναγκάστηκα (ανωτέρα βία) να το σβήσω...

Φίλε Γιώργο όπως θα έχεις αντιληφθεί καταβάλλουμε μία προσπάθεια αποφεύγουμε τις εντάσεις (ακόμα και σε περιπτώσεις που η οργή κάποιων μελών μας είναι δικαιολογημένη) στην συζήτηση μας. Βέβαια αυτό δε μπορεί να επιτυγχάνεται πάντα. Το πάντα σημαίνει και την συνεργασία όλων.

Μαυρογιάννης

Μερικό άθροισμα τριγωνομετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγονμετρικών.

Re: Μερικό άθροισμα τριγωνομετρικών.

Μέλη σε σύνδεση