Γεωμετρικός τόπος

[erxmer]

Δίνεται ορθός κώνος και ζητείται το σύνολο των ακμών των ορθών δίεδρων γωνιών, των οποίων τα επίπεδα των εδρών είναι εφαπτόμενα του κώνου.


Υγ άνευ λύσεως

[Mihalis_Lambrou]

Δίνεται ορθός κώνος και ζητείται το σύνολο των ακμών των ορθών δίεδρων γωνιών, των οποίων τα επίπεδα των εδρών είναι εφαπτόμενα του κώνου.

Το σύνολο των ζητούμενων ευθειών είναι οι ευθείες που διέρχονται από την κορυφή του κώνου και βρίσκονται εξωτερικά του (μία τέτοια φαίνεται στο σχήμα).

Θα χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι η επιφάνεια κώνου περιέχει τις γενέτειρές του ενώ δεν περιέχει καμία άλλη ευθεία. Τώρα, αφού η κάθε έδρα εφάπτεται του κώνου, τον τέμνει καταμήκος μίας γενέτειρας. Οπότε περιέχει και την κορυφή του κώνου. Για τον ίδιο λόγο η κορυφή του κώνου περιέχεται και στην άλλη έδρα. Άρα η κορυφή του κώνου βρίσκεται στην τομή των δύο επιπέδων της δίεδρης, που δεν είναι τίποτα άλλο από την ακμή της.

Αντίστροφα, έστω ευθεία εξωτερικά του κώνου, η οποία διέρχεται από την κορυφή. Από σημείο Μ της ευθείας φέρνουμε επίπεδο κάθετο στην ευθεία. Το επίπεδο αυτό τέμνει τον κώνο σε μία έλλεηψη. Φέρνουμε τις δύο εφατόμενες στην έλλειψη, έστω . Είναι εύκολο να δούμε ότι τo επίπεδο που περιέχει την ευθεία και το εφάπτεται της έλλειψης. Αυτό το επίπεδο είναι η μία πλαυρά της δίεδρης που ψάχνουμε. Όμοια, το άλλο επίπεδο είναι αυτό που ορίζεται από την ευθεία και το . Τελειώσαμε γιατί η δίεδρη που ορίσαμε έχει ακμή την δοθείσα.

Φιλικά,

Μιχάλης

Υ.Γ. erxmer, πραγματικά πιστεύεις ότι η άσκηση αυτή είναι κατάλληλη για Α.Σ.Ε.Π.; Δεν νομίζω! Όχι για την δυσκολία της (δεν είναι δύσκολη) αλλά μου είναι σαφές ότι ξεφεύγει κατά πολύ από τους στόχους του Α.Σ.Ε.Π. Το ίδιο και άλλες ασκήσεις που προτείνεις, π.χ. εδώ.

Δεν θα τα έγραφα αυτά (ο καθένας μπορεί καλή τη πίστη να προτείνει ότι νομίζει) αλλά ως Γενικός Συντονιστής στο φόρουμ, προσπαθώ να προλάβω άτομα που θα πιστέψουν ότι κάτι ξέρουμε εμείς για να προτείνουμε το θέμα. Mathematica είναι αυτό, κάτι ξέρει.
Απάντηση: Όχι δεν ξέρουμε τίποτα. Στα τυφλά βαδίζουμε και νομίζω στραβά.

[chris_gatos]

Καλημέρα.Ο Μιχάλης νομίζω μίλησε πιό σθεναρά από εμένα.
Φυσικά και δε γνωρίζουμε τίποτα προτείνοντας ένα θέμα.Η φιλοσοφία (τουλάχιστον η δική μου,για τους άλλους δε μπορώ να μιλήσω) είναι η εξής:
Κοιτάζω την ύλη,κοιτάζω τα παλαιότερα θέματα και προσπαθώ με τις ασκήσεις που προτείνω να εστιάσω σε σημεία της ύλης που
μπορεί να ζητηθούν αλλά επίσης προσπαθώ να υπενθυμίσω πράγματα που έχουν ζητηθεί.
Από εκεί και πέρα το κάθε μέλος μπορεί και έχει το δικαίωμα να προτείνει ότι θέλει.Και φυσικά δεν είναι υπεύθυνος ο φάκελος γι'αυτό.
Εγώ απλά ως επιμελητής περιμένω να πρυτανεύσει η λογική εκ μέρους των ανθρώπων που θέτουν τα θέματα.
Έχοντας μιλήσει με συναδέλφους(αυτό είναι αληθινό) μου έχουν πει πως σε γενικές γραμμές ένας υποψηφιος μπορεί αν ωφεληθεί
παρακολουθώντας αυτήν την αφιλοκερδή προσπάθεια ενημέρωσης.Η οποία φυσικά και είναι συνολική.
Στεναχωριέμαι ειλικρινά όταν ξεμακραίνουμε γιατί ο ειλικρινής στόχος είναι η βοήθεια.Για να είμαι ειλικρινής περίμενα μία σχετική απόκλιση της θεματολογίας.
Το γιατί το κρατάω μέσα μου.Θα επιμείνω όμως,έχοντας στο πίσω μέρος του μυαλού μου πως η δουλειά που γίνεται σε αυτόν το φάκελο είναι ικανοποιητική.
Αν οι γενικοί συντονιστές έχουν κάποιες παρατηρήσεις για τη γενικότερη λειτουργία της στήλης είναι καλοδεχούμενες,όπως θα ήθελα να είναι καλοδεχούμενες και οι δικές μου παρατηρήσεις.
Να έχετε μία καλή ημέρα κύριοι.