Το εξάγωνο του Δαβίδ

[gbaloglou]

Να βρεθεί το εμβαδόν του κυρτού εξαγώνου που εμφανίζεται στο συνημμένο (όπου ότι μοιάζει με μέσο ευθυγράμμου τμήματος όντως είναι) ως συνάρτηση του εμβαδού του αρχικού τριγώνου. (Τα μπλε σημεία είναι τα μέσα των πλευρών, τα γαλάζια σημεία είναι τα μέσα των τμημάτων που ενώνουν τις κορυφές με το βαρύκεντρο.)

Γιώργος Μπαλόγλου

[fmak65]

Το τριγωνο που ενωνει τα μεσα των πλευρων τριγωνου εχει εμβαδον το 1/4 του αρχικου τριγωνου και μπορει να υπολογιστει απο τον τυπο του Ηρωνα. Τα τρια τριγωνακια που προεξεχουν για να γινει το εξαγωνο απο ομοιοτητα των αντιστοιχων τριγωνων και λογω των εμβαδων ομοιων τριγωνων επειδη εχουν πλευρες το 1/3 του καθε ομοιου τους τριγωνου ειναι το 1/9 του καθενος που ειναι το 1/4 του αρχικου. Οποτε το ζητουμενο εμβαδον ως προς το αρχικο ειναι 1/4+3*1/9*1/4 = 1/3 του αρχικου.

[gbaloglou]

Το τριγωνο που ενωνει τα μεσα των πλευρων τριγωνου εχει εμβαδον το 1/4 του αρχικου τριγωνου και μπορει να υπολογιστει απο τον τυπο του Ηρωνα. Τα τρια τριγωνακια που προεξεχουν για να γινει το εξαγωνο απο ομοιοτητα των αντιστοιχων τριγωνων και λογω των εμβαδων ομοιων τριγωνων επειδη εχουν πλευρες το 1/3 του καθε ομοιου τους τριγωνου ειναι το 1/9 του καθενος που ειναι το 1/4 του αρχικου. Οποτε το ζητουμενο εμβαδον ως προς το αρχικο ειναι 1/4+3*1/9*1/4 = 1/3 του αρχικου.

Φώτη πολύ ωραία, μόνο που το + έπρεπε να είναι -, οπότε η σωστή απάντηση είναι 1/4-3*1/9*1/4 = 1/6: υπολόγισες το εμβαδόν του μη κυρτού εξαγώνου (γνωστού και ως "άστρο του Δαβίδ"), ενώ η άσκηση ζητούσε το εμβαδόν του κυρτού εξαγώνου (οπότε τα τρία τριγωνάκια αφαιρούνται αντί να προστίθενται).

Κάτι ακόμη: δεν είμαστε υποχρεωμένοι να εφαρμόσουμε τον τύπο του Ήρωνα, οι ζητούμενες σχέσεις προκύπτουν και από διάφορες ομοιότητες και αναλογίες. (Υπάρχουν διάφορες ενδιαφέρουσες υποασκήσεις, για παράδειγμα τα γαλάζια τμήματα τριχοτομούν τα μπλε τμήματα και αντιστρόφως.)

Γιώργος Μπαλόγλου

[fmak65]

Σωστα υπολογισα το αστρο και οχι το εξαγωνο. Τον τυπο του Ηρωνα τον εβαλα γιατι βγαζει κατ' ευθειαν το εμβαδον ενος κομματιου μεγαλυτερου του εμβαδον τελικα , αλλα και να δειξω οτι ισως αδικα το εβγαλαν , αν θυμαμαι καλα , απο την διδακτεα υλη

[Ανδρέας Πούλος]

Μία άλλη προσέγγιση βασίζεται στην εξής παρατήρηση.
Το εμβαδόν του αστεριού ισούται με το εμβαδόν του αρχικού τριγώνου μείον το εμβαδόν των έξι τραπεζίων.
Κάθε ζεύγος τραπεζίων που έχει ίσες μεγάλες βάσεις, έχει άθροισμα εμβαδών ισοδύναμο με ένα τραπέζιο που έχει μεγάλη βάση ίση με μία πλευρά του αρχικού τριγώνου,
μικρή βάση ίση με τα 2/3 της αντίστοιχης πλευράς του τριγώνου και ύψος το 1/6 του αντίστοιχου ύψους του αρχικού τριγώνου.
Άρα, για κάθε τέτοιο ζεύγος τραπεζίων θα ισχύει:

ή μετά από πράξεις

, όπου (ΑΒΓ) το εμβαδόν του αρχικού τριγώνου.

Άρα, το άθροισμα των εμβαδών των τραπεζίων ισούται με .

Αυτό σημαινει ότι το εμβαδόν του αστεροειδούς πολυγώνου ισούται με (ΑΒΓ) - =

Είναι κατανοητό ότι ορισμένοι ισχυρισμοί, ειδικά ότι το ύψος του ισοδύναμου τραπεζίου είναι το 1/6 του αντίστοιχου ύψους του αρχικού τριγώνου, απαιτούν απόδειξη.
Οι αποδείξεις αυτές είναι απλές και βασίζονται στην ιδιότητα του κέντρου βάρους και στο θεώρημα του Θαλή.

Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[gbaloglou]

ένα τραπέζιο που έχει μεγάλη βάση ίση με μία πλευρά του αρχικού τριγώνου, μικρή βάση ίση με τα 2/3 της αντίστοιχης πλευράς του τριγώνου και ύψος το 1/6 του αντίστοιχου ύψους του αρχικού τριγώνου.

μικρή βάση = το 1/3, όχι 2/3, της αντίστοιχης πλευράς του τριγώνου

... ώστε να μην συνυπολογίζονται τα τριγωνάκια στο κυρτό εξάγωνο ... και να ταυτίζονται και οι απαντήσεις μας

[Το γίνεται 2/9, κλπ κλπ]

Γιώργος Μπαλόγλου

[gbaloglou]

Άρα, για κάθε τέτοιο ζεύγος τραπεζίων θα ισχύει:

ή μετά από πράξεις

, όπου (ΑΒΓ) το εμβαδόν του αρχικού τριγώνου.

Άρα, το άθροισμα των εμβαδών των τραπεζίων ισούται με .

Αυτό σημαινει ότι το εμβαδόν του αστεροειδούς πολυγώνου ισούται με (ΑΒΓ) - =

Η απάντηση μοιάζει σωστή αλλά δεν είναι, μια και αφορά τελικά το αστέρι ή αστεροειδές πολύγωνο (σωστή απάντηση 1/3) και όχι το κυρτό εξάγωνο (σωστή απάντηση 1/6): η εξήγηση εμπεριέχεται στην αμέσως προηγούμενη ανάρτηση μου.

Γιώργος Μπαλόγλου