Μιγάδες Ναί!!!

S.E.Louridas · #1

Από εμένα γιά την όμορφη αυτή στήλη

""Θεωρούμε τυχόντες μιγαδικούς,
$z_1 ,z_2 ,\,\tau \varepsilon \tau o\iota o\upsilon \varsigma \;\omega \sigma \tau \varepsilon \;\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)\left( {\left| {z_1 + xz_2 + x + 1} \right| \leqslant 1 + x^2 } \right)$ και επί πλέον γνωρίζουμε ότι $\left| {z_1 }+1 \right| = 1.$
Να υπολογιστεί η μέγιστη τιμή της
$\left| {z_1 + z_2 + 2} \right|.$ ""

S.E.Louridas

Mulder · #2

Για

,

$\left| {z_1 + z_2 + 2} \right|\leq 2$

Για z_1=-1

και

,είναι

$\left| {z_1 + z_2 + 2} \right|=2$

και ${\forall x \in \mathbb{R}}, \right)\left{\left| { 2x} \right| \leq 1 + x^2 } \right\Leftrightarrow (|x|-1)^2\geq0$

S.E.Louridas · #3

Στα δεδομένα προσθέστε το επιπλέον δεδομένο:
και με $\left| {z_1 }+1 \right| = 1$

Με την συγγνώμη μου

S.E.Louridas

Χρήστος Λαζαρίδης · #4

Φίλε Σωτήρη

Άκυρο το μήνυμα,αφού είχε ένα λάθος.

Φιλικά Χρήστος

Χρήστος Λαζαρίδης · #5

Κάνω μία προσπάθεια.

Θεωρούμε τη συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \left| {z_1 + xz_2 + x + 1} \right| - (1 + x^2 ),x \in R}$
Από υπόθεση $\displaystyle{\forall x \in R,}$
$\displaystyle{f(x) \le 0 =f(0)\Rightarrow f(1) \le 0 \Rightarrow \left| {z_1 + z_2 + 2} \right| \le 2}$
Η μέγιστη τιμή είναι 2.

Φιλικά Χρήστος

hsiodos · #6

S.E.Louridas έγραψε:Από εμένα γιά την όμορφη αυτή στήλη

""Θεωρούμε τυχόντες μιγαδικούς,
$z_1 ,z_2 ,\,\tau \varepsilon \tau o\iota o\upsilon \varsigma \;\omega \sigma \tau \varepsilon \;\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)\left( {\left| {z_1 + xz_2 + x + 1} \right| \leqslant 1 + x^2 } \right)$ και επί πλέον γνωρίζουμε ότι $\left| {z_1 }+1 \right| = 1.$
Να υπολογιστεί η μέγιστη τιμή της
$\left| {z_1 + z_2 + 2} \right|.$ ""

S.E.Louridas

Σωτήρη μπορεί και να κάνω λάθος , βρίσκω ότι $\displaystyle{\left| {\,z_1 + z_2 + 2\,} \right|_{\max } = \sqrt 3 }$

Γιώργος

S.E.Louridas · #7

Ναί Γιώργο (hsiodos) Αυτό είναι $\sqrt 3$ και βγαίνει αν μπεί στο παιχνίδι το θεώρημα του Fermat, θεωρώντας την συνάρτηση που φαίνεται και παραγωγίσουμε. Θα ανεβάσω σύντομα την λύση,αν δεν με προλάβει κάποιος από την οικογένεια mathematica.

S.E.Louridas

hsiodos · #8

Ναι Σωτήρη χρησιμοποιώ Fermat που μας οδηγεί σε μια καθετότητα.
Πάω για μάθημα, αν δεν έχει μπει λύση θα βάλω αυτή που έχω βρει το βράδυ.

Γιώργος

hsiodos · #9

Καλό βράδυ σε όλους.Γράφω την λύση που έχω βρει , δεν ξερω αν υπάρχει κάτι πιο απλό.

$\displaystyle{ {\rm O}\nu o\mu \alpha \zeta o\upsilon \mu \varepsilon \,\,z_1 = a + \beta i\,\,,\,\,\,z_2 = \gamma + \delta i\,\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \sigma \tau \omega :}$

$\displaystyle{ z = z_1 + 1 = (\alpha + 1) + \beta i\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\,\left| {\,z\,} \right|^2 = (a + 1)^2 + \beta ^2 = 1\,\,\,(1)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\delta \iota \alpha \nu \upsilon \sigma \mu \alpha \tau \iota \kappa \eta \,\,\alpha \kappa \tau \iota \nu \alpha \,\,\mathop {{\rm O}{\rm A}}\limits^ \to = (\alpha + 1,\beta )}$

$\displaystyle{w = z_2 + 1 = (\gamma + 1) + \delta i\,\,\,\mu \varepsilon \,\,\,\,\left| {\,w\,} \right|^2 = (\gamma + 1)^2 + \delta ^2 = r\,\,\,(2)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\delta \iota \alpha \nu \upsilon \sigma \mu \alpha \tau \iota \kappa \eta \,\,\alpha \kappa \tau \iota \nu \alpha \,\,\mathop {{\rm O}B}\limits^ \to = (\gamma + 1,\delta )}$

$\displaystyle{ {\rm E}\iota \nu \alpha \iota \,\,\,\mathop {{\rm O}{\rm A}}\limits^ \to \cdot \,\mathop {{\rm O}B}\limits^ \to = (\alpha + 1)(\gamma + 1) + \beta \delta = k\,\,\,(3)}$

$\displaystyle{ {\rm A}\nu \alpha \zeta \eta \tau o\upsilon \mu \varepsilon \,\,\,\tau \eta \nu \,\,\mu \varepsilon \gamma \iota \sigma \tau \eta \,\,\,\tau \iota \mu \eta \,\,\,\tau o\upsilon \,\,\,\,\left| {\,z + w\,} \right|\,\,.\,\,\,{\rm E}\chi o\upsilon \mu \varepsilon }$

$\displaystyle{ \left| {\,z_1 + xz_2 + x + 1\,} \right| = \left| {\,\,z + xw\,} \right| = \left| {\,\left[ {(\alpha + 1) + x(\gamma + 1)} \right] + (\beta + x\delta )i\,} \right| }$ $\displaystyle{ = \sqrt {(a + 1)^2 + x^2 (\gamma + 1)^2 + 2x(\alpha + 1)(\gamma + 1) + \beta ^2 + x^2 \delta ^2 + 2\beta \delta x} \,\,\,\mathop = \limits^{(1),(2),(3)} \,\,\,\sqrt {rx^2 + 2kx + 1} }$

$\displaystyle{ {\rm I}\sigma \chi \upsilon \varepsilon \iota \,\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,x \in R\,\,:\,\,\,\sqrt {rx^2 + 2kx + 1} \le 1 + x^2 \Leftrightarrow \sqrt {rx^2 + 2kx + 1} - (1 + x^2 ) \le 0\,\,\,(4)}$

$\displaystyle{ \Theta \varepsilon \omega \rho o\upsilon \mu \varepsilon \,\,\,\tau \eta \nu \,\,\sigma \upsilon \nu \alpha \rho \tau \eta \sigma \eta \,\,\,f(x) = \sqrt {rx^2 + 2kx + 1} - (1 + x^2 )\,\,\,\pi o\upsilon \,\,\,\varepsilon \iota \nu \alpha \iota \,\,\,o\rho \iota \sigma \mu \varepsilon \nu \eta }$ $\displaystyle{ \kappa \alpha \iota \,\,\pi \alpha \rho \alpha \gamma \omega \gamma \iota \sigma \iota \mu \eta \,\,\,\sigma \tau o\,\,R\,\,\mu \varepsilon \,\,\,f{'} (x) = \frac{{rx + k}}{{\sqrt {rx^2 + 2kx + 1} }} - 2x}$

$\displaystyle{ \Lambda o\gamma \omega \,\,\tau \eta \varsigma \,\,(4)\,\,\,\iota \sigma \chi \upsilon \varepsilon \iota \,\,\gamma \iota \alpha \,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,x \in R\,\,:\,\,\,f(x) \le 0 \Rightarrow f(x) \le f(0)\,\,,\,\,\delta \eta \lambda \alpha \delta \eta \,\,\eta \,\,f\,\,\sigma \tau o\,\,0\,\,\pi \alpha \rho o\upsilon \sigma \iota \alpha \zeta \varepsilon \iota }$ $\displaystyle{ \mu \varepsilon \gamma \iota \sigma \tau o\,\,\,o\pi o\tau \varepsilon \,\,(\Theta .Fermat)\,\,\,f{'} (0) = 0 \Rightarrow k = 0\,\,}$

$\displaystyle{ \bullet \,\Gamma \iota \alpha \,\,k = 0\,\,,\,\,\gamma \iota \alpha \,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,x \in R\,\,:\,\,\,\,(4) \Rightarrow 1 + x^2 \ge \sqrt {rx^2 + 1} \Rightarrow 1 + 2x^2 + x^4 \ge rx^2 + 1 \Rightarrow x^2 + 2 - r \ge 0}$ $\displaystyle{ {\rm H}\,\,\tau \varepsilon \lambda \varepsilon \upsilon \tau \alpha \iota \alpha \,\,\sigma \chi \varepsilon \sigma \eta \,\,\iota \sigma \chi \upsilon \varepsilon \iota \,\,\gamma \iota \alpha \,\,\kappa \alpha \theta \varepsilon \,\,x \in R\,\,\,\mu o\nu o\,\,o\tau \alpha \nu \,\,2 - r \ge 0 \Rightarrow r \le 2\mathop \Rightarrow \limits^{(2)} \,\,\,\left| {\,w\,} \right|^2 \le 2\,\,(5)}$

$\displaystyle{ \bullet \,\,k = 0\mathop \Rightarrow \limits^{(3)} \,\,\mathop {{\rm O}{\rm A}}\limits^ \to \cdot \,\mathop {{\rm O}B}\limits^ \to = 0 \Rightarrow \mathop {{\rm O}{\rm A}}\limits^ \to \bot \,\mathop {{\rm O}B}\limits^ \to \, \Rightarrow \,\,\tau o\,\,\,{\rm O}{\rm A}\Gamma {\rm B}\,\,(\Gamma \,\,\eta \,\,\varepsilon \iota \kappa o\nu \alpha \,\,\,\tau o\upsilon \,\,z + w)\,\,\varepsilon \iota \nu \alpha \iota \,\,o\rho \theta o\gamma \omega \nu \iota o\,\,\pi \alpha \rho \alpha \lambda \lambda \eta \lambda o\gamma \rho \alpha \mu \mu o.}$

$\displaystyle{ \Sigma \upsilon \nu \varepsilon \pi \omega \varsigma \,\,\,\,\left| {\,z + w\,} \right| = \,\left| {\,z - w\,} \right| \Rightarrow \,\left| {\,z + w\,} \right|^2 = \,\left| {\,z - w\,} \right|^2 \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \pi \varepsilon \iota \delta \eta \,\,\tau o\,\,\tau \rho .\,\,{\rm O}{\rm A}{\rm B}\,\,\varepsilon \iota \nu \alpha \iota \,\,o\rho \theta o\gamma \omega \nu \iota o\,}$ $\displaystyle{ \iota \sigma \chi \upsilon \varepsilon \iota \,\,\,\left| {\,z - w\,} \right|^2 \,\, = \left| {\,z\,} \right|^2 + \left| {\,w\,} \right|^2 \,}$

$\displaystyle{ o\pi o\tau \varepsilon \,\,\left| {\,z + w\,} \right|^2 = \left| {\,z\,} \right|^2 + \left| {\,w\,} \right|^2 \mathop \Rightarrow \limits^{(1)} \,\left| {\,z + w\,} \right|^2 = 1 + \left| {\,w\,} \right|^2 \mathop \Rightarrow \limits^{(5)} \,\left| {\,z + w\,} \right|^2 \le 3}$ $\displaystyle{ \Rightarrow \left| {\,z + w\,} \right| \le \sqrt 3 }$

$\displaystyle{ {\rm A}\rho \alpha \,\,\,\left| {\,z + w\,} \right|_{\max } = \sqrt 3 \,\,(6)\,\,,\,\,\alpha \phi o\upsilon \,\,\,o\iota \,\,\mu \iota \gamma \alpha \delta \iota \kappa o\iota \,\,\,z = i\,\,(z_1 = - 1 + i)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,w = \sqrt 2 (z_2 = \sqrt 2 - 1)\,}$ $\displaystyle{ \iota \kappa \alpha \nu o\pi o\iota o\upsilon \nu \,\,\,\tau \iota \varsigma \,\,\alpha \rho \chi \iota \kappa \varepsilon \varsigma \,\,\sigma \upsilon \nu \theta \eta \kappa \varepsilon \varsigma \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\tau \eta \nu \,\,(6)}$

Γιώργος

S.E.Louridas · #10

Αν θέσουμε
$a = z_1 + 1,b = z_2 + 1,\varepsilon \chi o\upsilon \mu \varepsilon :\left| a \right| = 1\,\kappa \alpha \iota \,\left( {\forall x \in \mathbb{R}} \right)\left( {\left| {a + bx} \right| \leqslant 1 + x^2 } \right)$ και ζητούμε το
$\left| {a + b} \right|_{\max } .$
$\left( {a + bx} \right)\left( {\overline {a + bx} } \right) \leqslant x^4 + 2x^2 + 1 \Leftrightarrow f(x) = x^4 + \left( {2 - \left| b \right|^2 } \right)x^2 - \left( {a\mathop b\limits^\_ + \mathop a\limits^\_ b} \right)x \geqslant 0 = f\left( 0 \right),$
για κάθε πραγματικό αριθμό x, με
$f{'} \left( x \right) = 4x^3 + 2\left( {2 - \left| b \right|^2 } \right)x - \left( {a\mathop b\limits^\_ + \mathop a\limits^\_ b} \right)\;\kappa \alpha \iota \;f{'} \left( 0 \right) = 0\;\left( {Fermat} \right) \Rightarrow$
$\left| {a + b} \right|^2 = \left| a \right|^2 + \left| b \right|^2 \leqslant 1 + \left| b \right|^2 \;\left( * \right)\,\kappa \alpha \iota \;x^4 + \left( {2 - \left| b \right|^2 } \right)x^2 \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow \left| b \right|^2 \leqslant 2 \Rightarrow \left| b \right| \leqslant \sqrt 2 .$
Από την σχέση (*) έχουμε:
$\left| {a + b} \right|^2 \leqslant 3 \Rightarrow \left| {a + b} \right|_{\max } = \sqrt 3 .$

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #11

Δύο διευκρινίσεις
♦ $f{'} (0) = 0 \Rightarrow a\mathop b\limits^\_ + \mathop a\limits^\_ b = 0$

♦ Αν $\left| b \right|^2 > 2 \Rightarrow x^4 + \left( {2 - \left| b \right|^2 } \right)x^2 \geqslant 0,$
για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x, δηλαδή
$\left| x \right| \geqslant \sqrt {\left| b \right|^2 - 2} > 0,\forall x \in \mathbb{R}^ * ,$ πράγμα άτοπο.

**
Προσωπικά μου άρεσε το πέρασμα του Γιώργου στα διανύσματα.

S.E.Louridas

Μιγάδες Ναί!!!

Μιγάδες Ναί!!!

Re: Μιγάδες Ναί!!!

Re: Μιγάδες Ναί!!!

Re: Μιγάδες Ναί!!!

Re: Μιγάδες Ναί!!!

Re: Μιγάδες Ναί!!!

Re: Μιγάδες Ναί!!!

Re: Μιγάδες Ναί!!!

Re: Μιγάδες Ναί!!!

Re: Μιγάδες Ναί!!!

Re: Μιγάδες Ναί!!!

Μέλη σε σύνδεση