Ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου τετραγώνου

#1

Στις προεκτάσεις των πλευρών ΑΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ ενός τετραγώνου εγγεγραμμένου σε κύκλο (Ο,R) παίρνουμε αντίστοιχα τμήματα

$\displaystyle{ {\rm B}{\rm E} = \Gamma {\rm Z} = \Delta {\rm H} = {\rm A}\Theta = \lambda _3 }$

όπου $\displaystyle{ \lambda _3 }$

η πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου εγγεγραμμένου στον κύκλο (Ο,R).

1)Να δείξετε ότι το ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο.

2)Να υπολογίσετε την ακτίνα ρ του περιγεγραμμένου κύκλου του ΕΖΗΘ.

#2

: 24-12-2010 Geometry b.png (30.42 KiB) Προβλήθηκε 1084 φορές

Τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΘΕ, ΒΕΖ, ΓΖΗ και ΔΗΘ είναι ίσα, αφού έχουν
ΑΕ = ΒΖ = ΓΗ = ΔΘ = $\displaystyle \lambda _3 + \lambda _4 = R\left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)$
και ΑΘ = ΒΕ = ΓΖ = ΔΗ = $\displaystyle \lambda _3 = R\sqrt 3$

Οπότε και ΘΕ = ΕΖ = ΓΗ = ΗΘ.
Στο ΑΘΕ οι οξείες γωνίες του $\displaystyle \widehat{AE\Theta } = \omega ,\;\widehat{{\rm A}\Theta {\rm E}} = \phi$
είναι συμπληρωματικές.
Είναι $\displaystyle \widehat{AE{\rm Z}} = \;\widehat{{\rm A}\Theta {\rm E}} = \phi$ άρα $\displaystyle \widehat{{\rm Z}{\rm E}\Theta } = \;\omega + \phi = 90^\circ$

Οπότε ΘΕΖΗ τετράγωνο με πλευρά α.

Από Πυθαγόρειο Θεώρημα:
$\displaystyle \alpha ^2 = \left( {\Theta {\rm E}} \right)^2 = R^2 \left( {5 + 2\sqrt 6 } \right) + 3R^2 = \left( {8 + 2\sqrt 6 } \right)R^2 \; \Rightarrow \alpha = \sqrt {8 + 2\sqrt 6 } R$

Η ακτίνα ρ του περιγεγραμμένου του κύκλου είναι ίση με το μισό της διαγωνίου του δ.
$\displaystyle \delta ^2 = 2\alpha ^2 = \left( {16 + 4\sqrt 6 } \right)R^2 = 4\left( {4 + \sqrt 6 } \right)R^2 \Rightarrow \delta = 2\sqrt {4 + \sqrt 6 } R \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \rho = \sqrt {4 + \sqrt 6 } R$

Γιώργος Ρίζος

Ιστοσελίδα · #3

Το τετράπλευρο ΕΖΗΘ είναι τετράγωνο γιατί αποτελείται από 4 ίσα ορθογώνια τρίγωνα με κάθετες πλευρές $\sqrt 3 R,\,\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)R$ το καθένα ,σχηματίζοντας γωνίες ${90^ \circ }$ ( $x + {90^ \circ } - x$ ) . Η υποτείνουσα (κατόπιν Πυθαγορείου θεωρήματος) είναι $\left( {\sqrt {8 + 2\sqrt 6 } } \right)R$ που αποτελεί και την πλευρά του τετραγώνου ΕΖΗΘ.

Η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του (πάλι από Πυθαγόρειο) θα είναι $\displaystyle{\left( {\frac{{\sqrt {16 + 4\sqrt 6 } }}{2}} \right)R}$ .

: chris.png (15.86 KiB) Προβλήθηκε 1078 φορές

Υ.Γ.: Με πρόλαβε ο Γιώργος αλλά την αφήνω για τον κόπο που έκανα.

parmenides51 · #4

Για το 2ο ερώτημα διαφορετικά.
Οι δυο κύκλοι είναι όμοιοι με λόγο ομοιότητας των λόγο των ακτίνων τους κι αυτός ισούται με τον λόγο ομοιότητας των όμοιων αντίστοιχων εγγεγραμμένων τετραγώνων τους, που είναι ο λόγος των πλευρών τους. Άρα

$\displaystyle{\frac{\rho}{ R}=\frac{\alpha }{\lambda _4 }=\frac{\sqrt {8 + 2\sqrt 6 } R}{\sqrt {2}R}=\frac{\sqrt {2}\sqrt {4 + \sqrt 6}}{\sqrt {2}}=\sqrt {4 + \sqrt 6}\Rightarrow \rho=\sqrt {4 + \sqrt 6}\cdot R}$ .

Υ.Γ. Υποψιάζομαι πως και το 1ο ερώτημα βγαίνει απευθείας (με ομοιότητα) αφού αν περιστρέψουμε το μικρό τετράγωνο και το μεγευθύνουμε προκύπτει το μεγάλο τετράγωνο αλλά δεν ξέρω ούτε πως γράφεται και ούτε πως αιτιολογείται επίσημα κάτι τέτοιο (συνδυσμός στροφής και ομοιοθεσίας μάλλον).

Ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου τετραγώνου

Ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου τετραγώνου

Re: Ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου τετραγώνου

Re: Ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου τετραγώνου

Re: Ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου τετραγώνου

Μέλη σε σύνδεση