Και στερεομετρία και άλγεβρα

#1

Σε ισόπλευρο κώνο πλευράς 2α εγγράφουμε σφαίρα η οποία εφάπτεται της βάσης και της παράπλευρης επιφάνειας του κώνου.

Στη συνέχεια εγγράφουμε μιά άλλη σφαίρα η οποία εφάπτεται της πρώτης αλλά και της παραπλευρης επιφάνειας της σφαίρας.

Συνεχίζουμε τη διαδικασία αυτή επ'άπειρον.

Να βρείτε:

1)Το άθροισμα των ακτίνων των άπειρων αυτών σφαιρών.

2)Το άθροισμα των εμβαδών όλων των κύκλων επαφής.

3)Τον όγκο που υπολείπεται απο τον κώνο,μετά απο την αφαίρεση των άπειρων σφαιρών.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

1. Από τα ορθογώνια τρίγωνα ΑΟ1Ε1, ΑΟ2Ε2, ... που έχουν μια οξεία γωνία ίση με 30 μοίρες προκύπτει:
$\left.\begin{matrix} R_1=O_1E_1=\frac{1}{2}AO_1=\frac{1}{3}AD_1\\ R_2=O_2E_2=\frac{1}{2}AO_2=\frac{1}{3}AD_2=\left(\frac{1}{3} \right)^2AD_1 \\ ......... \\ R_n=.......=\left(\frac{1}{3} \right)^nAD_1 \end{matrix}\right|$
Και επειδή:
$AD_1=\alpha \sqrt{3}$
Άρα:
$R_1+R_2+...+R_n=(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^n}+...)AD_1$
και συνεπώς:
$R_1+R_2+...+R_n=\frac{1}{2}AD_1=\frac{\alpha \sqrt{3}}{2}(1)$

2. Από τα ορθογώνια τρίγωνα Ο1Κ1Ε1, Ο2Κ2Ε2, ...προκύπτει:
$\left.\begin{matrix} r_1=K_1E_1=O_1E_1sin(\frac{\pi }{6})=R_1\frac{\sqrt{3}}{2}\\ r_2=K_2E_2=O_2E_2sin(\frac{\pi }{6})=R_2\frac{\sqrt{3}}{2} \\............. \\ r_n=........R_n\frac{\sqrt{3}}{2} \end{matrix}\right|$
Άρα:
$\pi (r_1)^2+\pi (r_2)^2+...+\pi (r_n)^2+...=\frac{3\pi }{4}\left(R_1^2+R_2^2+...R_n^2+... \right)=\frac{3\pi }{4}\left(\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^4}+...+\frac{1}{3^2n}+... \right) \right)(AD_1)^2$
και μετά πράξεις:
$\displaystyle\sum_{1}^{\propto }{\pi r_i^2}=\frac{9\pi \alpha ^2}{32}$

3. Είναι:
$V=V(\kappa \omega \nu o\upsilon )-V(\sigma \phi \alpha \iota \varrho \omega \nu )=...=\frac{1}{3}\pi \alpha ^3\sqrt{3}-\frac{2\pi \alpha ^3\sqrt{3}}{13}=\frac{7\pi \alpha ^3\sqrt{3}}{39}$

Και στερεομετρία και άλγεβρα

Και στερεομετρία και άλγεβρα

Re: Και στερεομετρία και άλγεβρα

Μέλη σε σύνδεση