Συντελεστές διωνύμου και αριθμητική πρόοδος

#1

Υπάρχουν 4 διαδοχικοί διωνυμικοί συντελέστες
$\displaystyle{ \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ k \\ \end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ {k + 1} \\ \end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ {k + 2} \\ \end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ {k + 3} \\ \end{array}} \right) }$
τέτοιοι ώστε να σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο;
( n,k θετικοί ακέραιοι και $\displaystyle{ k + 3 \le n }$ )

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Υποθέτω ότι ενοείται ότι αποτελούν διαδ. όρους αριθμ. προόδου.
$\frac{n!}{k!(n-k)!}+\frac{n!}{(k+2)!(n-k+2)!}=2\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\Leftrightarrow \frac{k+1}{(k+1)!(n-k)!}+\frac{1}{(k+1)!(k+2)(n-k-2)!}=2\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\Leftrightarrow \frac{k+1}{(n-k-1)!(n-k)}+\frac{n-k-1}{(k+2)(n-k-1)!}=\frac{2}{(n-k-1)!}\Leftrightarrow \frac{k+1}{n-k}+\frac{n-k-1}{k+2}=2$
Μετά τις πράξεις βρίσκουμε $4k^{2}+8k+n^{2}-4nk-5n+2=0 (1)$
Επίσης: $\frac{n!}{(k+1)!(n-k-1)!}+\frac{n!}{(k+3)!(n-k-3)!}=2\frac{n!}{(k+2)!(n-k-2)!}$
Αν τώρα εργαστούμε όπως πριν και μετά τις πράξεις, έχουμε:
$4k^{2}+n^{2}-4kn+16k-9n+14=0 (2)$
Αφαιρώντας από την σχέση (1) την (2) έχουμε: n=2k+3 και αντικαθιστώντας αυτό στην σχέση (2) βρίσκουμε k=-2
που είναι άτοπο. Άρα δεν είναι δυνατόν οι δοσμένοι αριθμοί να αποτελούν διαδ. όρους αριθμ. προόδου.

(Ελπίζω να μην έκανα κάποιο λάθος στις πράξεις)

Ιωάννου Δημήτρης

Συντελεστές διωνύμου και αριθμητική πρόοδος

Συντελεστές διωνύμου και αριθμητική πρόοδος

Re: Συντελεστές διωνύμου και αριθμητική πρόοδος

Μέλη σε σύνδεση