Ασυνεχής συνάρτηση και ακολουθία

#1

Δίνεται η συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ με

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases} 0 & x \in \mathbb{Q}\\ \\ sinx & x \in \mathbb{R}-\mathbb{Q} \end{cases}}$

α) Να βρείτε ένα διάστημα

, ώστε σε κάθε σημείο του οποίου η

είναι ασυνεχής και το f(I)

να είναι διάστημα

β) Να μελετήσετε ως προς τη σύγκλιση την ακολουθία x_n

, όπου $x_1 \in (0, \frac {\pi}{2})$
και $x_{n+1}=f(x_n)$

#2

α) Τέτοιο είναι το $I=(0, \pi)$ (*). Πράγματι, $f(I) \subseteq (0,1)$ και μάλιστα έχουμε ισότητα διότι αν $y\in (0,1)$ τότε υπάρχει $A\in (0, \pi)$ με $\sin A = y$ . Tώρα, αν μεν Α άρρητος τότε $f(A) = \sin A = y$ . Αν πάλι Α ρητός, τότε $\pi - A$ άρρητος, οπότε $f(\pi-A) = \sin (\pi-A) = \sin A = y$ .
Και στις δύο περιπτώσεις, το y είναι τιμή της f.

β) Από την $0 \le \sin x \le x$ στο $[0, \frac {\pi}{2} ]$ (*) εύκολα διαπιστώνουμε ότι η x_n

είναι φθίνουσα (για τα ρητά x_n

αυτό είναι άμεσο διότι $x_{n+1}=0$ , ενώ για τα άρρητα μας το λέει η (*)) και προφανώς $x_n \ge 0$ . Συμπεραίνουμε ότι η x_n

συγκλίνει, έστω στο

. Θα δούμε ότι συγκλίνει στο x=0

.

Πράγματι, αν κάποιο x_n

είναι ρητός, η ακολουθία γίνεται σταθερά 0 από κει και πέρα, οπότε τελειώσαμε. Αν x_n

πάντα άρρητος (αυτό βέβαια εξαρτάται από τον πρώτο όρο), τότε η ακολουθία μας είναι η ίδια με αυτήν που προκύπτει αν στη θέση της

είχαμε την $g(x)=\sin x$ στο $[0, \frac {\pi}{2}]$ . Αλλά αυτή είναι συνεχής.
Παίρνοντας όριο στην $x_{n+1} = g(x_n)$ έχουμε $x= g(x) = \sin x$ οπότε x=0

.

Φιλικά,

Μιχάλης

(*) Edit: Κάνω διόρθωση σε αυτό που είχα γράψει αρχικά, που ηταν το $[0, 4\pi]$ . Είχα παραβλέψει ότι η δοθείσα πρέπει να είναι "ασυνεχής σε κάθε x". (Στο διάστημα που έγραψα η συνάρτηση είναι απλά "ασυνεχής". Tυχαίνει και είναι συνεχής στα πέντε σημεία 0, π, 2π, 3π και 4π).
Ευχαριστώ τον φίλο Σπύρο Καπελλίδη για την επισήμανση του λάθους μου.

Ασυνεχής συνάρτηση και ακολουθία

Ασυνεχής συνάρτηση και ακολουθία

Re: Ασυνεχής συνάρτηση και ακολουθία

Μέλη σε σύνδεση