Εμβαδόν επιφάνειας

#1

Έστω $\displaystyle{ f(x) = x^2 + 6x + 1,x \in R }$ και $\displaystyle{ S }$ το σύνολο των σημείων $\displaystyle{ \left( {x,y} \right) }$ του επιπέδου τα οποία ικανοποιούν τις δύο παρακάτω σχέσεις:
$\displaystyle{ \begin{array}{l} f(x) + f(y) \le 0 \\ f(x) - f(y) \le 0 \\ \end{array} }$
Να υπολογίσετε το εμβαδόν της επιφάνειας που καλύπτουν τα στοιχεία του $\displaystyle{ S }$ .

GMANS · #2

Μια προσπάθεια με την καλησπέρα μου στον Χρήστο

$f(x)+f(y)\leq 0\Leftrightarrow (x+3)^2+(y+3)^2\leq 4^2$
άρα τα σημεία $\displaystyle{ S }$ ανήκουν σε κυκλικό δίσκο κέντρου $\displaystyle{ K( - 3,3) }$ και ακτίνας $\displaystyle{ \rho = 4 }$

$f(x)-f(y) \leq 0\Leftrightarrow(x-y)(x+y+6) \leq0(1)$
H ευθεία $\displaystyle{ \varepsilon _1 ,x - y = 0 }$
τέμνει τον κύκλο $\displaystyle{ C }$ : (x+3)^2+(y+3)^2=4^2

στα $A(-3-2\sqrt{3}, -3-2\sqrt{3})$ , $B(-3+2\sqrt{3}, -3-2\sqrt{3})$

H ευθεία $\displaystyle{ \varepsilon _2 ,x + y + 6 = 0 }$
τέμνει τον κύκλο $\displaystyle{ C }$ : (x+3)^2+(y+3)^2=4^2

στα $\Gamma(-3+2\sqrt{3}, -3-2\sqrt{3})$ , $\Delta(-3-2\sqrt{3}, -3+2\sqrt{3})$
Οι $\displaystyle{ \varepsilon _1 ,\varepsilon _2 }$ είναι κάθετες και τέμνονται στο κέντρο του κύκλου $\displaystyle{ C,K( - 3, - 3) }$

$(1)\Leftrightarrow \left \{ x-y\leq 0\Lambda x+y+6\geq 0 \right \}(2)$
ή
$\left \{ x-y\geq 0\Lambda x+y+6\leq 0 \right \}(3)$
Λύση της $\displaystyle{ (2) }$ είναι τα σημεία της γωνίας ΔΟΒ
Λύση της $\displaystyle{ (3) }$ είναι τα σημεία της γωνίας ΑΟΓ
Επομένως το σύνολο $\displaystyle{ S }$
είναι τα σημεία των κυκλικών τομέων
$\displaystyle{ \Delta {\rm K}{\rm B} }$ και $\displaystyle{ A{\rm K}{\rm B} }$
Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι
$E=\frac{\pi R^2}{2}=8\pi$ τετραγωνικές μονάδες.

#3

Γιώργο καλησπέρα και σε ευχαριστώ πολύ!

Εμβαδόν επιφάνειας

Εμβαδόν επιφάνειας

Re: Εμβαδόν επιφάνειας

Re: Εμβαδόν επιφάνειας

Μέλη σε σύνδεση