Πλήθος πραγματικών ριζών

#1

Μία όμορφη άσκηση...

Αν το πολυώνυμο $\displaystyle{ P(x) }$ και η παραγωγός του $\displaystyle{ P'(x) }$ δεν έχουν κοινές ρίζες και η $\displaystyle{ P'(x) }$ έχει τις διακεκριμένες ρίζες $\displaystyle{ x_1 < x_2 < .... < x_k }$
να δείξετε ότι το πλήθος των πραγματικών ριζών του $\displaystyle{ P(x) }$ ισούται με το πλήθος των εναλλαγών του προσήμου στην ακολουθία:

$\displaystyle{ P( - \infty ),P(x_1 ),P(x_2 ),....,P(x_k ),P( + \infty ) }$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

chris_gatos έγραψε:Μία όμορφη άσκηση...

Αν το πολυώνυμο $\displaystyle{ P(x) }$ και η παραγωγός του $\displaystyle{ P'(x) }$ δεν έχουν κοινές ρίζες και η $\displaystyle{ P'(x) }$ έχει τις διακεκριμένες ρίζες $\displaystyle{ x_1 < x_2 < .... < x_k }$
να δείξετε ότι το πλήθος των πραγματικών ριζών του $\displaystyle{ P(x) }$ ισούται με το πλήθος των εναλλαγών του προσήμου στην ακολουθία:

$\displaystyle{ P( - \infty ),P(x_1 ),P(x_2 ),....,P(x_k ),P( + \infty ) }$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Aπό το βιβλίο ''Μαθηματική Ανάλυση'' του L.Brand

Πραγματικά όμορφη Χρήστο

Αν για λόγους ευκολίας πουμε $x_0=-\infty$ και $x_{k+1}=+\infty$ , τότε όταν έχουμε εναλλαγή προσήμου στην παραπάνω

ακολουθία θα σημαίνει ότι για κάποιο $i \in \{0,1,2,...,k,k+1\}$ έχουμε $P(x_i)P(x_{i+1})<0$ .

Συνεπώς στο διάστημα $(x_i,x_{i+1})$ έχουμε μία τουλάχιστον ρίζα (Bolzano). Συνεπώς έχουμε τόσες τουλάχιστον ρίζες, όσες

και οι εναλλαγές προσήμων. Αν υπάρχει μία παραπάνω ρίζα, τότε προφανώς αυτή θα βρίσκεται σε ένα από τα παραπάνω

διαστήματα όπου υπάρχει εναλλαγή προσήμου.

Ας πούμε λοιπόν ότι στο $(x_i,x_{i+1})$ το

έχει δύο ρίζες r_1,r_2

με $x_i<r_1<r_2<x_{i+1}$

Τότε θα υπάρχει $y_i \in (r_1,r_2)$ με $P^{\prime}(y_i)=0$ (Rolle), άτοπο.

Συνεπώς οι ρίζες του P(x)

είναι ακριβώς τόσες όσες και οι εναλλαγές προσήμου.

Πλήθος πραγματικών ριζών

Πλήθος πραγματικών ριζών

Re: Πλήθος πραγματικών ριζών

Μέλη σε σύνδεση