Ανίσωση

angvl · #1

Καλησπέρα σε όλους καί καλό μήνα! Θέλω μια (οχι πολύ δυνατή) "κλωτσιά" για να ξεκολλήσω απο μια ανίσωση που είδα σ' ένα φυλλάδιο με προτεινόμενα θέματα για ΑΣΕΠ του κ. Μάκη Χατζόπουλου.

$e^{x^2+x+1}-e^{x+1}+x^2>0$

Ευχαριστώ προκαταβολικά!

#2

Σίγουρα ισχύει και σαν ισότητα(για x=0).
Πάρε ώς δεδομένη την ανισότητα:
$\displaystyle{ e^x \ge x + 1,\forall x \in R }$
Συνεπώς σε αυτήν μπορείς να θέσεις $\displaystyle{ x \to x^2 }$ και θα λάβεις:
$\displaystyle{ e^{x^2 } \ge x^2 + 1 \Rightarrow e^{x^2 } - 1 \ge x^2 \ge 0 }$
(Κράτησε τη θα σου χρειαστεί)
Τώρα αρκεί
$\displaystyle{ e^{x + 1} (e^{x^2 } - 1) + x^2 \ge 0 }$
Μήπως αυτή ήδη αληθεύει;

#3

Υπόδειξη: Αφού $x^2 \ge 0$ έχουμε $e^{x^2} \ge 1$ οπότε
$e^{x^2+x+1} = e^{x^2}e^{x+1} \ge e^{x+1}$ και λοιπά.

Μ.

Υ.Γ. Υπόψη ότι για x=0

παίρνουμε ισότητα.

angvl · #4

Καμμια φορά η λύση είναι τόσο απλή αλλά δε μπορώ να την σκεφτώ..
Ευχαριστώ πολύ για τις υποδείξεις σας!

mathxl · #5

Μία ιδέα

$\displaystyle{{e^{{x^2} + x + 1}} - {e^{x + 1}} + {x^2} > 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{e^{{x^2} + x + 1}} + {x^2} > {e^{x + 1}} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{e^{{x^2} + x + 1}} + {x^2} + x + 1 > {e^{x + 1}} + x + 1 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{f\left( {{x^2} + x + 1} \right) > f\left( {x + 1} \right) \wedge f\left( x \right) = {e^x} + x}$
κτλ από την μονοτονία της f

Ανίσωση

Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση