Εκθετική

angvl · #1

Να λυθεί στο R η εξίσωση

$3^x+5^x+2*7^x-(2^x+2^{2x}+2^{3x+1})=0$

mathxl · #2

Έστω η συνάρτηση $\displaystyle{f\left( t \right) = {t^x},t > 0}$ με $\displaystyle{f'\left( t \right) = x{t^{x - 1}}}$ η οποία ικανοποιεί τις προυποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής στα [2,3], [4,5], [7,8] άρα θα υπάρχουν $\displaystyle{{\xi _1},{\xi _2},{\xi _3}}$ , εσωτερικά σημεία αντίστοιχα των παραπάνω διστημάτων ώστε
$\displaystyle{x\xi _1^{x - 1} = {3^x} - {2^x},x\xi _2^{x - 1} = {5^x} - {4^x},x\xi _3^{x - 1} = {8^x} - {7^x}}$

Επίσης η συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) = {a^{x - 1}} + {b^{x - 1}} - 2,0 < a,b < 1}$
είναι γνησίως φθίνουσα και έχει προφανή ρίζα το 1, άρα είναι και μοναδική.

Έχουμε
$\displaystyle{{3^x} + {5^x} + 2 \cdot {7^x} - ({2^x} + {2^{2x}} + {2^{3x + 1}}) = 0 \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{{3^x} - {2^x} + {5^x} - {4^x} = 2\left( {{8^x} - {7^x}} \right) \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{x\xi _1^{x - 1} + x\xi _2^{x - 1} = 2x\xi _3^{x - 1} \Leftrightarrow }$

$\displaystyle{x = 0 \vee {\left( {\frac{{{\xi _1}}}{{{\xi _3}}}} \right)^{x - 1}} + {\left( {\frac{{{\xi _2}}}{{{\xi _3}}}} \right)^{x - 1}} - 2 = 0}$

$\displaystyle{x = 0 \vee x = 1}$

Εκθετική

Εκθετική

Re: Εκθετική

Μέλη σε σύνδεση