Γεωμετρία

erxmer · #1

Μετα απο καιρό έπεσε στα χέρια μου το βιβλίο του Ντάνη (Γεωμετρία, 1969), στην σελίδα 137 το πρόβλημα 193 έχει ως εξής

Θεωρούμε την περιφέρεια (Ο, R) και την διάμετρο αυτής ΑΒ. Ζητείται να βρεθεί σημείο Μ της διαμέτρου, ώστε ο λόγος των εμβαδών S, S' στα οποία διαιρείται ο κύκλος απο τις ημιπεριφέρειες
που γράφονται με διαμέτρους ΑΜ, MΒ, και εκατέρωθεν της ΑΒ να είναι δοσμένος λ:μ.

hsiodos · #2

Ονομάζουμε $\displaystyle{E,E_1 ,E_2 }$ τα εμβαδά των ημικυκλίων διαμέτρων ΑΒ , ΜΑ , ΜΒ αντίστοιχα οπότε: $\displaystyle{ E = \frac{{\pi R^2 }}{2}\,\,,\,\,E_1 = \frac{{\pi MA^2 }}{8}\,\,,\,\,E_2 = \frac{{\pi MB^2 }}{8}}$

Αν S είναι το εμβαδόν του μέρους του αρχικού κύκλου που δεν περιέχει το ημικύκλιο διαμέτρου ΜΑ τότε:

: λόγος εμβαδών.png (16.36 KiB) Προβλήθηκε 429 φορές

$\displaystyle{ S = E + E_2 - E_1 \Rightarrow S = \frac{{\pi R^2 }}{2} + \frac{{\pi MB^2 }}{8} - \frac{{\pi MA^2 }}{8} \Rightarrow 8S = 4\pi R^2 + \pi MB^2 - \pi MA^2 }$ $\displaystyle{ \Rightarrow 8S = 4\pi R^2 + \pi (MB^2 - MA^2 ) \Rightarrow 8S = 4\pi R^2 + \pi (MB + MA)(MB - MA)}$

$\displaystyle{ \Rightarrow 8S = 4\pi R^2 + 2\pi R(MB - MA) \Rightarrow 8S = 2\pi R(2R + MB - MA)}$ $\displaystyle{ \Rightarrow 8S = 2\pi R(MA + MB + MB - MA) \Rightarrow 8S = 4\pi R \cdot MB \Rightarrow 2S = \pi R \cdot MB\,\,(1)}$

και $\displaystyle{ S{'} = E + E_1 - E_2 \Rightarrow \cdot \cdot \cdot \Rightarrow 2S{'} = \pi R \cdot MA\,\,\,\,(2)}$

Λόγω των (1) και (2) βρίσκουμε $\displaystyle{ \frac{S}{{S{'} }} = \frac{{MB}}{{MA}} = \frac{\lambda }{\mu }}$ από όπου προσδιορίζεται το σημείο Μ .

Γιώργος

solars · #3

erxmer έγραψε:Μετα απο καιρό έπεσε στα χέρια μου το βιβλίο του Ντάνη (Γεωμετρία, 1969), στην σελίδα 137 το πρόβλημα 193 έχει ως εξής

Γνωρίζει κανεις που υπάρχουν διαθέσιμα αντίτυπα παλιών βιβλίων γεωμετρίας όπως του Ντάνη?Εννοώ βιβλιοπωλεία.

#4

solars έγραψε:
erxmer έγραψε:Μετα απο καιρό έπεσε στα χέρια μου το βιβλίο του Ντάνη (Γεωμετρία, 1969), στην σελίδα 137 το πρόβλημα 193 έχει ως εξής
Γνωρίζει κανεις που υπάρχουν διαθέσιμα αντίτυπα παλιών βιβλίων γεωμετρίας όπως του Ντάνη?Εννοώ βιβλιοπωλεία.

Πρέπει να είναι κανείς πολύ τυχερός για να βρει σε κάποιο παλιό βιβλιοπωλείο αντίτυπο του βιβλίου αυτού , αλλά και άλλων του Ντάνη.

Μάλλον μόνο μέσω συναδέλφων άνω των 50 ετών θα μπορέσεις να το βρεις κι αν όχι, γι αυτό είμαστε εμείς εδώ

!

Μπάμπης

Γεωμετρία

Γεωμετρία

Re: Γεωμετρία

Re: Γεωμετρία

Re: Γεωμετρία

Μέλη σε σύνδεση