Γνωστό λήμμα

#1

Ένα γνωστό λήμμα που θα ήταν χρήσιμο να είναι στα υπ'όψιν του καθενός...

Αν ένα τρίγωνο έχει δύο διαφορετικές γωνίες τοτε να αποδείξετε πως η μικρότερη από αυτές τις γωνίες έχει
τη μεγαλύτερη εσωτερική διχοτόμο.

Eukleidis · #2

Θα βασιστούμε στην ισότητα: $\displaystyle{{\delta _a} = \tfrac{{2bc}}{{b + c}}\cos \tfrac{A}{2}}$

Έστω λοιπόν πως $\displaystyle{0 < A < B < \pi \Rightarrow 0 < \tfrac{A}{2} < \tfrac{B}{2} < \tfrac{\pi }{2} \Rightarrow 1 > \cos \tfrac{A}{2} > \cos \tfrac{B}{2} > 0}$ αφού η συνάρτηση $\displaystyle{g\left( x \right) = \cos x}$ είναι γνησίως φθίνουσα στο $\displaystyle{\left( {0,\tfrac{\pi }{2}} \right)}$ .

Έτσι λοιπόν αρκεί να δείξουμε ότι $\displaystyle{{\delta _\alpha } > {\delta _b} \Leftarrow \tfrac{{2bc}}{{b + c}}\cos \tfrac{A}{2} > \tfrac{{2ca}}{{c + a}}\cos \tfrac{B}{2} \Leftarrow \tfrac{b}{{b + c}}\cos \tfrac{A}{2} > \tfrac{a}{{c + a}}\cos \tfrac{B}{2}}$ Επειδή όμως $\displaystyle{\cos \tfrac{A}{2} > \cos \tfrac{B}{2}}$ αρκεί $\displaystyle{\tfrac{b}{{b + c}} > \tfrac{a}{{c + a}} \Leftarrow bc + ba > ab + ac \Leftarrow c\left( {b - a} \right) > 0}$ που ισχύει αφού απο απέναντι από άνισες γωνίες βρίσκονται ομοιοτρόπως άνισες πλευρές.

---------------------------------------------------------
Απόδειξη του τύπου $\displaystyle{{\delta _a} = \tfrac{{2bc}}{{b + c}}\cos \tfrac{A}{2}}$

Έστω τρίγωνο ABC και ΑD η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας Α. Ισχύει:
$\displaystyle{\left( {ABC} \right) = \left( {ABD} \right) + \left( {ADC} \right) \Rightarrow \tfrac{1}{2}bc\sin A = \tfrac{1}{2}cAD\sin \tfrac{A}{2} + \tfrac{1}{2}bAD\sin \tfrac{B}{2} \Rightarrow bc\sin A = AD\left( {b + c} \right)\sin \tfrac{A}{2}}$ $\displaystyle{ \Rightarrow 2bc\sin \tfrac{A}{2}\cos \tfrac{A}{2} = AD\left( {b + c} \right)\sin \tfrac{A}{2} \Rightarrow \boxed{{\delta _a} = \tfrac{{2bc}}{{b + c}}\cos \tfrac{A}{2}}}$

Γνωστό λήμμα

Γνωστό λήμμα

Re: Γνωστό λήμμα

Μέλη σε σύνδεση